Question

11．如圖1，在△ABC中，AD⊥BC，并且有AB²-AC²=AD²．
（1）證明：tanB=sinC；
（2）若∠BAC=90°，證明：$\frac{1}{A{B}^{2}}+\frac{1}{B{D}^{2}}=\frac{1}{A{D}^{2}}$；
（3）如圖2，若AB=BC，過點D作DE∥AC交AB于點E，求DE與DC的數量關系，并給出證明．

Answer 1

分析 （1）首先根據AB²-AC²=AD²，可得AB²-AD²=AC²；然后在Rt△ABD中，由勾股定理，可得AB²-AD²=BD²，據此推得AC=BD；最后根據tanB=$\frac{AD}{BD}$，sinC=$\frac{AD}{AC}$，推得tanB=sinC即可．
（2）首先在Rt△ABC中，由勾股定理，可得AB²+AC²=BC²；然后根據S_△ABC=$\frac{1}{2}$AB．AC=$\frac{1}{2}$BC．AD，推得AB．AC=BC．AD，再根據AC=BD，推得$\frac{1}{A{B}^{2}}+\frac{1}{B{D}^{2}}=\frac{1}{A{D}^{2}}$即可．
（3）猜想DE與DC的數量關系是：DE=2DC．首先過點B作∠ABC的平分線交DE于點F，根據相似三角形判定的方法，判斷出△BDE∽△BCA，即可推得$\frac{BD}{BC}=\frac{BE}{BA}$；然后根據AB=BC，可得BD=BE，再根據BF是∠ABC的平分線，可得BF⊥DE，所以DE=2DF；最后根據全等三角形判定的方法，判斷出△BDF≌△ACD，即可推得DF=DC，據此判斷出DE=2DC即可．

解答 （1）證明：如圖1，，
∵AB²-AC²=AD²，
∴AB²-AD²=AC²，
在Rt△ABD中，
AB²-AD²=BD²，
∴AC=BD，
又∴tanB=$\frac{AD}{BD}$，sinC=$\frac{AD}{AC}$，
∴tanB=sinC．

（2）證明：如圖2，，
∵∠BAC=90°，
∴AB²+AC²=BC²，
∵S_△ABC=$\frac{1}{2}$AB．AC=$\frac{1}{2}$BC．AD，
∴AB．AC=BC．AD，
由（1），可得
AC=BD，
∴$\frac{1}{{AB}^{2}}$+$\frac{1}{{BD}^{2}}$
=$\frac{1}{{AB}^{2}}$+$\frac{1}{{AC}^{2}}$
=$\frac{{AB}^{2}{+AC}^{2}}{{AB}^{2}{•AC}^{2}}$
=$\frac{{BC}^{2}}{{AB}^{2}{•AC}^{2}}$
=$\frac{{BC}^{2}}{{BC}^{2}{•AD}^{2}}$
=$\frac{1}{{AD}^{2}}$
∴$\frac{1}{A{B}^{2}}+\frac{1}{B{D}^{2}}=\frac{1}{A{D}^{2}}$．

（3）解：猜想DE與DC的數量關系是：DE=2DC．
證明：如圖3，過點B作∠ABC的平分線交DE于點F，，
∵DE∥AC，
∴∠BDE=∠C，
在△BDE和△BCA中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠BDE=∠C}\\{∠DBE=∠CBA}\end{array}\right.$
∴△BDE∽△BCA，
∴$\frac{BD}{BC}=\frac{BE}{BA}$，
∵AB=BC，
∴BD=BE．
又∵BF是∠ABC的平分線，
∴BF⊥DE，
∴DE=2DF，
由（1），可得AC=BD，
在△BDF和△ACD中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠BDF=∠ACD}\\{∠BFD=∠ADC}\\{BD=AC}\end{array}\right.$
∴△BDF≌△ACD，
∴DF=DC，
又∵DE=2DF，
∴DE=2DC．

點評 （1）此題主要考查了三角形相似的判定和性質的應用，要熟練掌握，解答此題的關鍵是要明確：①三邊法：三組對應邊的比相等的兩個三角形相似；②兩邊及其夾角法：兩組對應邊的比相等且夾角對應相等的兩個三角形相似；③兩角法：有兩組角對應相等的兩個三角形相似．
（2）此題還考查了全等三角形的判定和性質的應用，要熟練掌握，解答此題的關鍵是要明確：①判定定理1：SSS--三條邊分別對應相等的兩個三角形全等．②判定定理2：SAS--兩邊及其夾角分別對應相等的兩個三角形全等．③判定定理3：ASA--兩角及其夾邊分別對應相等的兩個三角形全等．④判定定理4：AAS--兩角及其中一個角的對邊對應相等的兩個三角形全等．⑤判定定理5：HL--斜邊與直角邊對應相等的兩個直角三角形全等．