Question

若x1、x2是關于一元二次方程ax2+bx+c（a≠0）的兩個根，則方程的兩個根x1、x2和系數a、b、c有如下關系：x1+x2=-，x1•x2=．把它稱為一元二次方程根與系數關系定理．如果設二次函數y=ax2+bx+c（a≠0）的圖象與x軸的兩個交點為A（x1，0），B（x2，0）．利用根與系數關系定理可以得到A、B兩個交點間的距離為：AB=|x1-x2|=；

參考以上定理和結論，解答下列問題：

設二次函數y=ax2+bx+c（a＞0）的圖象與x軸的兩個交點A（x1，0），B（x2，0），拋物線的頂點為C，顯然△ABC為等腰三角形．

（1）當△ABC為直角三角形時，求b2-4ac的值；

（2）當△ABC為等邊三角形時，求b2-4ac的值．

Answer 1

（1）4；（2）12．

【解析】

試題分析：（1）當△ABC為直角三角形時，由于AC=BC，所以△ABC為等腰直角三角形，過C作CE⊥AB于E，則AB=2CE．根據本題定理和結論，得到AB=，根據頂點坐標公式，得到CE=||=，列出方程，解方程即可求出b2-4ac的值；

（2）當△ABC為等邊三角形時，解直角△ACE，得CE=AE=AB，據此列出方程，解方程即可求出b2-4ac的值．

試題解析：（1）當△ABC為直角三角形時，過C作CE⊥AB于E，則AB=2CE．

∵拋物線與x軸有兩個交點，

∴△=b2-4ac＞0，則|b2-4ac|=b2-4ac．

∵a＞0，

∴AB=，

又∵CE=||=，

∴，

∴，

∴b2-4ac=，

∵b2-4ac＞0，

∴b2-4ac=4；

（2）當△ABC為等邊三角形時，

由（1）可知CE=AB，

∴，

∵b2-4ac＞0，

∴，

∴b2-4ac=12．

考點：1．拋物線與x軸的交點；2．根與系數的關系；3．等腰三角形的性質；4．等邊三角形的性質．