Question

已知，⊙O上一點E，過E點作圓的切線EA，交⊙O的直徑BD為A，，連接AF．
（1）證明：AF是⊙O的切線；
（2）若，OH⊥BF，直徑為4，求OH²的長．

Answer 1

【答案】分析：（1）連接OF，BE，DF，由BD為圓O的直徑，得到弧BED與弧BFD都為半圓，且弧BE=弧BF，可得出弧ED=弧FD，利用等弧所對的圓心角相等得到一對角相等，再加上OE=OF，OA為公共邊，利用SAS可得出三角形AEO與三角形AFO全等，由全等三角形的對應角相等得到一對角相等，又AE為圓O的切線，利用切線的性質得到AE垂直于OE，可得出AF垂直于OF，進而確定出AF為圓O的切線；
（2）由弧BE=3弧ED，得到得到∠EOA=∠FOA=45°，可得出OE與OF垂直，確定出四邊形AEOF為正方形，得到AF=OE=OD，由直徑為4求出AF=2，由弦切角等于夾弧所對的圓周角得到一對角相等，再由一對公共角，利用兩對對應角相等的兩三角形相似可得出三角形ADF與三角形ABF相似，由相似得比例，由OH與BF垂直，BD為圓O直徑得到DF與BF垂直，得出OH與DF平行，由O為BD中點，得到H為BF中點，即OH為中位線，利用中位線定理得到DF=2OH，設OH=x，則DF=2x，
解答：解：（1）連接OF，BE，DF，
∵=，
∴=，
∴∠EOD=∠FOD，
在△AEO與△AFO中，
，
∴△AEO≌△AFO（SAS），
∵AE為圓O的切線，∴OE=AE，
∴∠AEO=∠AFO=90°，
則AF為圓O的切線；

（2）∵=3，
∴∠EOF=90°，
∴四邊形AEOF為正方形，
∴AF=OD=BD=2，AB=BD+DA=2+2，
又BD為圓O的直徑，
∴BF⊥DF，又OH⊥BF，
∴OH∥DF，又O為AB的中點，
∴OH為△BDF的中位線，
∴OH=DF，
設OH=x，則DF=2x，
∵∠DFQ=∠BFO，
∴△BFA∽△FDA，
∴=，即=，
∴BF=（2+2）x，
在Rt△DFB中，根據勾股定理得：DF²+BF²=BD²，即4²+（2x）²+[（2+2）x]²=（2x）²
解得：x=2-2，
則OH²=（2-2）²=10-8．
點評：此題考查了切線的判定與性質，全等三角形的判定與性質，圓周角定理，勾股定理，相似三角形的判定與性質，三角形中位線定理，以及正方形的判定與性質，熟練掌握切線的判定與性質是解本題的關鍵．