Question

如圖，O是已知線段AB上一點，以OB為半徑的⊙O交線段AB于點C，以線段AO為直徑的半圓交⊙O于點D，過點B作AB的垂線與AD的延長線交于點E．
（1）求證：AE切⊙O于點D；
（2）若AC=2，且AC、AD的長時關于x的方程x²-kx+4

5

=0的兩根，求線段EB的長；
（3）當點O位于線段AB何處時，△ODC恰好是等邊三角形？并說明理由．

Answer 1

分析：（1）連接OD．只需證明OD⊥AE即可；
（2）根據兩根之積求得AD的長，再根據切割線定理求得AB的長，再根據△AOD∽△AEB即可求解；
（3）要探索△ODC恰好是等邊三角形，則OB=OC，即點O是AB的中點，再進一步反過來證明．

解答：（1）證明：連接OD．
根據直徑所對的圓周角是直角，得OD⊥AE，
則AE切⊙O于點D．

（2）解：∵AC=2，AC、AD是所給方程的兩根，
∴2AD=4

5

，
∴AD=2

5

．
由切割線定理，得AD²=AC•AB，
∴AB=

AD2

AC

=10，
則BC=AB-AC=10-2=8，
∴OD=4．
在△AOD和△AEB中，∵∠A=∠A，
又∵EB⊥AB，
∴∠EBA=∠ODA=90°
∴△AOD∽△AEB．
∴

OD

BE

=

AD

AB

，
∴BE=

OD•AB

AD

=4

5

．

（3）解：當點O位于線段AB上靠近B的三等分點處時，△ODC恰好為等邊三角形．
證明如下：∵OB=OC=

1

2

BC，
∴AC=

1

3

AB．
∴AC=OC=OD．
∴C為以AO為直徑的圓的圓心．
∴CD=OC=OD．
∴△ODC是等邊三角形．

點評：此題綜合運用了圓周角定理的推論、相似三角形的判定和性質、切割線定理以及等邊三角形的判定和性質．