Question

如圖，O是已知線段AB上一點，以OB為半徑的⊙O交線段AB于點C，以線段AO為直徑的半圓交⊙O于點D，過點B作AB的垂線與AD的延長線交于點E；
（1）求證：AE切⊙O于點D；
（2）若AC=2，且AC、AD的長是關于x的方程x2-kx+4

5

=0的兩根，求線段EB的長．

Answer 1

分析：（1）連接OD，證明OD⊥AD即可．由AD是半圓直徑易證；
（2）根據題意，AC•AD=4

5

，則AD=2

5

．在Rt△AOD中利用勾股定理可求半徑，知△AOD各邊的長度．
證明△AOD∽△AEB，得比例線段建立已知和未知之間的聯系求解．

解答：（1）證明：連接OD．
∵AO為半圓直徑，∴∠ADO=90°．
∴AE切⊙O于點D；

（2）∵AC、AD的長是關于x的方程x2-kx+4

5

=0的兩根，
∴AC•AD=4

5

；
∵AC=2，
∴AD=2

5

．
設OD=OC=x，則（x+2）²=（2

5

）²+x²．
解得x=4．
∴AB=2+8=10．
∵∠ADO=∠ABE=90°，∠A=∠A，
∴△AOD∽△AEB，
∴

OD

BE

=

AD

AB

，即

4

BE

=

2 5

10

，
∴BE=4

5

．

點評：此題考查了切線的判定、相似三角形的判定和性質等知識點，綜合性強，難度中上．