Question

4．如圖，A，B兩地之間有條河，原來從A地到B地需要經過橋DC，沿折線A→D→C→B到達，現在新建了橋EF，可直接沿直線AB從A地到達B地．已知BC=11km，∠A=45°，∠B=37°，橋DC和AB平行，橋DC與橋EF的長相等．
（1）求點D到直線AB的距離；
（2）現在從A地到B地可比原來少走多少路程？
（結果保留小數點后一位．參考數據：$\sqrt{2}$≈1.41，sin37°≈0.60，cos37°≈0.80）．

Answer 1

分析 （1）過點D作DH⊥AB于H，DG∥CB交AB于G，根據平行四邊形的判定得出DCBG為平行四邊形，在Rt△DGH中，根據DH=DG•sin37，即可求出點D到直線AB的距離；
（2）根據（1）先求出GH、AD和AH的長，再根據兩條路線路程之差為AD+DG-AG，代值計算即可得出答案．

解答 解：（1）如圖，過點D作DH⊥AB于H，DG∥CB交AB于G，
∵DC∥AB，
∴四邊形DCBG為平行四邊形．
∴DC=GB，GD=BC=11．
在Rt△DGH中，
DH=DG•sin37°≈11×0.60=6.60，
∴點D到直線AB的距離是6.60km；

（2）根據（1）得：
GH=DG•cos37°≈11×0.80≈8.80，
在Rt△ADH中，
AD=$\sqrt{2}$DH≈1.41×6.60≈9.31．
AH=DH≈6.60，
∵兩條路線路程之差為AD+DG-AG，
∴AD+DG-AG=（9.31+11）-（6.60+8.80）≈4.9（km）．
即現在從A地到B地可比原來少走約4.9km．

點評 此題考查了解直角三角形的應用，將梯形中的問題轉化為三角形問題是解決梯形問題的常用方法，常作的輔助線有平移腰、平移對角線、作高等．