Question

在計算1+3+3²+…3⁹⁹⁹+3¹⁰⁰⁰的值時，可設(shè)S=1+3+3²+…3⁹⁹⁹+3¹⁰⁰⁰①則3S=3+3²+…3⁹⁹⁹+3¹⁰⁰⁰+3¹⁰⁰¹②
②-①得2S=3¹⁰⁰¹-1所以S=

31001-1

2

即1+3+3²+…3⁹⁹⁹+3¹⁰⁰⁰=

31001-1

2

利用上述方法計算：
（1）1+8+8²+…8²⁰⁰⁸+8²⁰⁰⁹
（2）1+x+x²+…xⁿ（x≠1）

Answer 1

分析：這道題求等比數(shù)列前n項的和，解決這類問題，主要是對和式乘以公比錯一位相減，使中間項相消，分類求出其和．簡稱“錯位相減法”．

解答：解：（1）設(shè)S=1+8+8²+…8²⁰⁰⁸+8²⁰⁰⁹①
則8S=8+8²+…8²⁰⁰⁸+8²⁰⁰⁹⁺8²⁰¹⁰②
②-①得：8S-S=8^2010 _1
S=

82010-1

7

；
（2）設(shè)S=1+x+x²+…xⁿ①
則xS=x+x²+…xⁿ⁺¹②
②-①得：xS-S=x^n+1   _1
S=

xn+1-1

x-1

．

點評：運用等比數(shù)列的性質(zhì)，類比的思想尋求此類問題的答案．