Question

5．如圖，在梯形ABCD中，AD∥BC，∠B=90°，AD=24cm，AB=3cm，BC=20cm，動點P從D點開始沿DA以2cm/s的速度向A運動，動點Q從B點開始沿BC以1cm/s的速度向C運動，P、Q分別從D、B同時出發，當其中一點到端點時，另一點也隨之停止運動，連結PQ，設運動時間為t．
（1）在P、Q運動過程中，是否存在線段PQ把梯形分成面積相等的兩部分？若存在，請求出PQ的長度；
（2）在P、Q運動過程中，△PCD能成為等腰三角形？若能，請求出t．

Answer 1

分析 （1）根據題意得：BQ=t，DP=2t，則CQ=20-t，AP=24-2t，與梯形面積公式得出方程，解方程求出t的值，則BQ=2，AP=20，作QM⊥AD于M，由勾股定理求出PQ即可；
（2）作CE⊥AD于E，則四邊形ABCE是矩形，得出AE=BC=20，CE=AB=3，∴DE=AD-AE=4，由勾股定理求出CD=5，分三種情況：
①DP=DC=5時，t=$\frac{5}{2}$s；
②CP=CD=5時，PE=DE=4，得出DP=8，即可求出t值；
③PC=PD時，P為CD的垂直平分線與AD的交點，證明△PDF∽△CDE，得出對應邊成比例求出DP，即可得出t的值．

解答 解：（1）存在，理由如下：如圖1所示：
根據題意得：BQ=t，DP=2t，則CQ=20-t，AP=24-2t，
若線段PQ把梯形分成面積相等的兩部分，
則梯形ABQP的面積=梯形CDPQ的面積，
∴$\frac{1}{2}$（t+24-2t）×3=$\frac{1}{2}$（20-t+2t）×3，
解得：t=2，
∴BQ=2，AP=20，
作QM⊥AD于M，則四邊形ABQM是矩形，
∴AM=BQ=2，QM=AB=3，
∴PM=AP-AM=20-2=18，
∴PQ=$\sqrt{P{M}^{2}+Q{M}^{2}}$=$\sqrt{1{8}^{2}+{3}^{2}}$=3$\sqrt{37}$；
∴存在線段PQ把梯形分成面積相等的兩部分，此時t=2s，PQ=3$\sqrt{37}$；
（2）作CE⊥AD于E，則四邊形ABCE是矩形，
∴AE=BC=20，CE=AB=3，
∴DE=AD-AE=4，
∴CD=$\sqrt{C{E}^{2}+D{E}^{2}}$=$\sqrt{{3}^{2}+{4}^{2}}$=5，
分三種情況：①DP=DC=5時，如圖2所示：
則t=$\frac{5}{2}$s；
②CP=CD=5時，如圖3所示：
則PE=DE=4，
∴DP=8，∴t=8÷2=4（s）；
③PC=PD時，P為CD的垂直平分線與AD的交點，如圖4所示：
則DF=$\frac{5}{2}$，
∵∠CED=∠PFD=90°，∠D=∠D，
∴△PDF∽△CDE，
∴$\frac{DF}{DE}=\frac{DP}{DC}$，即$\frac{\frac{5}{2}}{4}=\frac{DP}{5}$，DP=$\frac{25}{8}$，
∴t=$\frac{25}{8}$÷2=$\frac{25}{16}$；
綜上所述：在P、Q運動過程中，△PCD能成為等腰三角形，t的值為$\frac{5}{2}$s或4s或$\frac{25}{16}$s．

點評 本題考查了梯形的性質、勾股定理、矩形的判定與性質、等腰三角形的判定、相似三角形的判定與性質以及分類討論思想的運用；熟練掌握梯形的性質和勾股定理是解決問題的關鍵．