Question

（2011•同安區質檢）已知拋物線y=x²-mx+m-2；
（1）求證：拋物線y=x²-mx+m-2與x軸有兩個不同的交點；
（2）若m是整數，拋物線y=x²-mx+m-2與x軸交于整數點，求m的值；
（3）在（2）的條件下，設拋物線的頂點為A，拋物線與x軸的兩個交點中右側交點為B．在坐標軸上是否存在一點M，使得△MAB為等腰三角形？若存在，求出點M的坐標；若不存在，請說明理由．

Answer 1

分析：（1）根據△=m²-4m+8=（m-2）²+4＞0，得出此拋物線與x軸有兩個不同的交點；
（2）根據求根公式得出（m-2）²+4為完全平方數時，此拋物線與x軸才有可能交于整數點，進而得出m，n的值，即可得出答案；
（3）根據m=2，分別討論當MA=MB時，當BA=BM時，當BA=AM時，利用勾股定理得出M點的坐標即可．

解答：解：（1）證明：令y=0，則x²-mx+m-2=0．
因為△=m²-4m+8
=（m-2）²+4＞0，
所以此拋物線與x軸有兩個不同的交點．
（2）因為關于x的方程x²-mx+m-2=0的根為x=

m± (m-2)2+4

2

，
由m為整數，當（m-2）²+4為完全平方數時，此拋物線與x軸才有可能交于整數點．
設（m-2）²+4=n²（其中n為整數），
則[n+（m-2）][n-（m-2）]=4
因為n+（m-2）與n-（m-2）的奇偶性相同，
所以

n+m-2=2 n-m+2=2

或

n+m-2=-2 n-m+2=-2

，
解得

n=2 m=2

或

n=-2 m=-2

；
經過檢驗，當m=2時，方程x²-mx+m-2=0有整數根，且（m-2）²+4為完全平方數，
所以m=2．

（3）當m=2時，此二次函數解析式為y=x²-2x=（x-1）²-1，則頂點坐標為（1，-1）．
拋物線與x軸的交點為O（0，0）、B（2，0）
當MA=MB時，
設拋物線的對稱軸與x軸交于點M₁，則M₁（1，0）．
在直角三角形AM₁O中，由勾股定理，得AO=

2

．
由拋物線的對稱性可得，AB=AO=

2

．
又(

2

)2+(

2

)2=22，即OA²+AB²=OB²．
所以△ABO為等腰直角三角形．
則M₁A=M₁B．
所以M₁（1，0）為所求的點．
若滿足條件的點M₂在y軸上時，設M₂坐標為（0，y），
過A作AN⊥y軸于N，連接AM₂、BM₂，則M₂A=M₂B．
由勾股定理，有M2A2=M2N2+AN2；M2B2=M2O2+OB2，
即（y+1）²+1²=y²+2²．
解得y=1．
所以M₂（0，1）為所求的點．
所以M點坐標為（1，0）或（0，1）．
當BA=BM時，M點坐標為（2+

2

，0）或（2-

2

，0）．
當BA=AM時，M點坐標為（0，0）．
綜上所述，滿足條件的M點的坐標為（1，0）或（0，1）、（0，0）、（2+

2

，0）、（2-

2

，0）．

點評：此題主要考查了二次函數的綜合應用以及勾股定理以及根的判別式和等腰直角三角形的性質等知識，利用分類討論得出答案是解題關鍵．