Question

（2011•同安區質檢）已知：如圖，A（a，m），B（2a，n）是反比例函數y=

k

x

(k＞0)圖象上的兩點，分別過A，B兩點作x軸的垂線，垂足分別為C、D，連接OA，OB．
（1）求證：S_△AOC=S_△OBD；
（2）若A，B兩點又在一次函數y=-

4

3

x+b的圖象上，且S_△OAB=8，求a的值．

Answer 1

分析：（1）根據反比例函數圖象上點得坐標特點得到am=k，2an=k，再根據三角形面積公式得到S_△AOC=

1

2

OC•AC=

1

2

a×m=

1

2

k，S_△BOD=

1

2

OD×BD=

1

2

×2a×n=

1

2

k，即可得到結論；
（2）先把A、B兩點坐標代入一次函數解析式，可以用a表示為A點坐標（a，-

4

3

a+b），B點坐標（2a，-

8

3

a+b），再利用A、B兩點在反比例函數圖象上，則k=a•（-

4

3

a+b）=2a•（-

8

3

a+b），于是解得b=4a，然后用a表示一次函數與坐標軸兩交點坐標F（0，4a），E（3a，0），然后利用S_△AOB=S_△E0F-S_△EOA-S_△BOF=8和三角形面積公式得到關于a的方程，再解方程可得a的值．

解答：（1）證明：∵A（a，m），B（2a，n）是反比例函數y=

k

x

(k＞0)上，且AC⊥OC，BD⊥OD，
∴am=k，2an=k，
∵S_△AOC=

1

2

OC•AC=

1

2

a×m=

1

2

k，S_△BOD=

1

2

OD×BD=

1

2

×2a×n=

1

2

k，
∴S_△AOC=S_△OBD；

（2）解：∵A，B兩點在一次函數y=-

4

3

x上，
∴A點坐標可表示為（a，-

4

3

a+b），B點坐標表示為（2a，-

8

3

a+b），
∵A，B在是反比例函數y=

k

x

上，
∴a•（-

4

3

a+b）=2a•（-

8

3

a+b），解得b=4a，
∴A點坐標為（a，

8

3

a），B點坐標表示為（2a，

4

3

a），
∵A（a，m），B（2a，n）是反比例函數y=

k

x

(k＞0)上，
∴一次函數y=-

4

3

x+b與x軸，y軸的交點F（0，4a），E（3a，0），如圖，
∵S_△AOB=S_△E0F-S_△FOA-S_△BOE=8，
即

1

2

•3a•4a-

1

2

4a•a-

1

2

•3a•

4

3

a=8，
∴a²=4，
∴a=±2（負號舍去）
∴a=2．

點評：本題考查了反比例函數與一次函數的交點問題：反比例函數圖象與一次函數圖象的交點坐標滿足兩個函數的解析式．也考查了三角形面積公式．