Question

下列命題：①若x²=2010×2012+1，則x=2011；②若xy＜0，且

a-2y+1

+（x+1）²=0，則a＞-1；③若一直角梯形的兩條對角線的長分別為9和11，上、下兩底長都是整數，則該梯形的高為6

2

；④已知方程ax²+bx+c=0（a＞b＞c）的一個根為1，則另一個根k的取值范圍是-2＜k＜-

1

2

．
其中正確的命題的序號為

 

．

Answer 1

分析：①把2010看作2011-1，2012看作2011+1，然后利用平方差公式化簡合并后，開方即可求出x的值，即可得到本命題的真假；
②根據兩非負數的和為0，得到兩非負數同時為0，即可求出a與y的關系式及x的值，根據xy＜0，即可求出a的取值范圍，即可判斷本命題的真假；
③設出此梯形的上底與下底，然后根據勾股定理列出方程，根據上下底都為整數，即可得到上下底的值，進而求出梯形的高，即可判斷本命題的真假；
④根據方程的一個解為1，代入方程得到a+b+c=0，又a＞b＞c，得到a一定大于0，而方程的另外一個根為k，則方程化為a（x-1）（x-k）=0，化簡后分別用a表示出b和c，利用a＞b＞c列出關于k與a的不等式，當a大于0，即可得到k的取值范圍．

解答：解：①x²=2010×2012+1=（2011-1）（2011+1）+1=2011²-1+1=2011²，
開方得：x=±2011，本命題為假命題；
②由

a-2y+1

+（x+1）²=0，得到a-2y+1=0且x+1=0，
解得：x=-1＜0，y=

a+1

2

，又xy＜0，
所以得到

a+1

2

＞0，
解得a＞-1，本命題為真命題；
③設此直角梯形的上下底分別為x與y，高為z，
根據勾股定理得：11²-x²=9²-y²=z²，
所以x²-y²=40，即（x+y）（x-y）=40，
因為x與y為整數，所以當x+y=20，x-y=2時，聯立解得x=11，y=9，代入得z=0，舍去；
當x+y=10，x-y=4時，聯立解得x=7，y=3．
所以此直角梯形的上底為3，下底為7，高Z=

92-32

=

72

=6

2

，本命題正確；
④因為方程的一根為1，另一根為k，
把x=1代入方程得：a+b+c=0，又因為a＞b＞c，
所以a＞0，
則方程可化為a（x-1）（x-k）=0，
化簡得：ax²-a（k+1）x+ak=0，又方程ax²+bx+c=0，
得到b=-ak-a，c=ak，又a＞b＞c，
所以有-ak-a＞ak，且由a＞-ak-a，
當a＞0時，解得：-2＜k＜-

1

2

；
所以，方程另一根的取值范圍是：-2＜k＜-

1

2

，本命題正確．
故正確答案為序號有：②③④．
故答案為：②③④

點評：此題考查學生靈活運用平方差公式化簡求值，掌握兩非負數之和為0時的條件，是一道綜合題．