Question

3．△ABC是等邊三角形，點P是直線AB上一點，作PE⊥AC于E，點Q為直線BC上一點，PQ交直線AC于點D，DE=$\frac{1}{2}$AB．
（1）如圖1，若點P在邊AB上，點Q在邊BC延長線上，請問AP與CQ有怎樣的數量關系，直接寫出結論；
（2）如圖2，若點P在邊AB延長上，點Q在邊BC延長線上，（1）問中的結論是否成立，請說明理由；
（3）如圖3，若點P在邊BA的延長線上，點Q在邊BC上，且PQ⊥BC，若CQ=4，求AE的長．

Answer 1

分析 （1）根據等邊三角形的性質得到∠A=∠B=∠ACB=60°，AB=AC，如圖1，過P作PG∥BC，根據平行線的性質得到∠AGP=∠ACB=60°，∠PGD=∠QCD，推出△APG是等邊三角形，于是得到AP=PG證得△PGD≌△QCD，根據全等三角形的性質即可得到結論；
（2）如圖2，過P作PF∥BC交AC的延長線于F，根據等邊三角形的性質得到∠A=∠B=∠ACB=60°，AB=AC，于是得到∠F=∠ACB=60°，推出△APF是等邊三角形，根據等邊三角形的性質得到AP=PF，推出△PFD≌△QCD，根據全等三角形的性質即可得到結論．
（3）如圖3，過P作PF∥BC交CA的延長線于F，由△ABC是等邊三角形，得到AB=AB=BC，由PE⊥AE，△APF是等邊三角形，于是得到EF=AE，證得DF=CD，求得CD=DF=8，推出△DQC≌△DPF，根據全等三角形的性質即可得到結論．

解答 解：（1）AP=CQ，
∵△ABC是等邊三角形，
∴∠A=∠B=∠ACB=60°，AB=AC，
如圖1，過P作PG∥BC，
∴∠AGP=∠ACB=60°，∠PGD=∠QCD，
∴△APG是等邊三角形，
∴AP=PG，
∵PE⊥AG，
∴AE=EG，
∵DE=$\frac{1}{2}$AB，
∴AE+CD=$\frac{1}{2}$AB=$\frac{1}{2}$AC，
∴DG=CD，
在△PGD與△CDQ中，$\left\{\begin{array}{l}{∠PGD=∠QCD}\\{GD=CD}\\{∠PDG=∠CDQ}\end{array}\right.$，
∴△PGD≌△QCD，
∴PG=CQ，
∴AP=CQ；

（2）（1）問中的結論成立，
理由：如圖2，過P作PF∥BC交AC的延長線于F，
∵△ABC是等邊三角形，
∴∠A=∠B=∠ACB=60°，AB=AC，
∴∠F=∠ACB=60°，
∴△APF是等邊三角形，
∴AP=PF，
∵PE⊥AC，
∴AE=EF，
∵DE=$\frac{1}{2}$AB，
∴DE=$\frac{1}{2}$AC，
∴CD=DE-CE=$\frac{1}{2}$AC-（AC-AE）=AE-$\frac{1}{2}$AC=EF-DE=DF，
即CD=DF，
∵PF∥BQ，
∴∠F=∠QCD，
在△PFD與△QCD中，$\left\{\begin{array}{l}{∠F=∠QCD}\\{CD=DF}\\{∠QDC=∠PDQ}\end{array}\right.$，
∴△PFD≌△QCD，
∴PF=CQ，
∴AP=CQ；

（3）如圖3，過P作PF∥BC交CA的延長線于F，
∵△ABC是等邊三角形，
∴AB=AB=BC，
∵PE⊥AE，△APF是等邊三角形，
∴EF=AE，
∵ED=DF-EF=DF-$\frac{1}{2}$AF=$\frac{1}{2}$AB=$\frac{1}{2}$AC，
∴DF=$\frac{1}{2}$AF+$\frac{1}{2}$AC=$\frac{1}{2}$（AF+AC）=$\frac{1}{2}$CF，
∴DF=CD，
在Rt△DQC中，
∵QC=4，∠CDQ=30°，
∴CD=DF=8，
在△DQC與△DPF中，$\left\{\begin{array}{l}{∠F=∠C}\\{DF=CD}\\{∠PDF=∠CDQ}\end{array}\right.$，
∴△DQC≌△DPF，
∴PF=CQ=AF=4，
∴AE=$\frac{1}{2}$AF=2．

點評 本題考查了全等三角形的判定和性質，等邊三角形的性質，平行線的性質，正確的作出輔助線是解題的關鍵．