Question

閱讀下列因式分解的過程，再回答所提出的問題：
1+x+x（x+1）+x（x+1）²=（1+x）[1+x+x（1+x）]
=（1+x）²[1+x]
=（1+x）³
（1）上述分解因式的方法是　　法，共應用了　　次．
（2）若分解1+x+x（x+1）+x（x+1）²+…+x（x+1）²⁰¹⁰，則需要應用上述方法　　次，分解因式后的結果是　　．
（3）請用以上的方法分解因式：1+x+x（x+1）+x（x+1）²+…+x（x+1）ⁿ（n為正整數），必須有簡要的過程．

Answer 1

（1）提取公因式  2 （2）2010 （1+x）²⁰¹¹ （3）（1+x）ⁿ⁺¹

試題分析：（1）首先提取公因式（1+x），再次將[1+x+x（1+x）]提取公因式（1+x），進而得出答案；
（2）根據（1）種方法即可得出分解因式后的結果；
（3）參照上式規律即可得出解題方法，求出即可．
解：（1）根據已知可以直接得出答案：
提取公因式，2；
（2）2010，（1+x）²⁰¹¹；
（3）解：原式=（1+x）[1+x+x（1+x）+…+x（1+x）^（n﹣1）]，
=（1+x）²[1+x+x（1+x）x（1+x）^（n﹣2）]，
=（1+x）ⁿ⁺¹．
點評：此題主要考查了提公因式法分解因式，做題的關鍵是：①正確找到公因式，②注意觀察尋找規律．