Question

古希臘著名的畢達哥拉斯學派把1、3、6、10…這樣的數稱為“三角形數”，而把1、4、9、16…這樣的數稱為“正方形數”，從圖中可以發現，任何一個大于1的“正方形數”都可以寫成兩個相鄰“三角形數”之和．即：（1）4=1+3，（2）9=3+6，（3）16=6+10，…按這一規律，請你寫出第2012個圖中的一條等式：

2013²=

2013×(2013-1)

2

+

2013×(2013+1)

2

．

Answer 1

分析：觀察圖象中點的個數的規律有第一個圖形是4=2²=1+2+1，第二個圖形是9=3²=1+2+3+2+1，第三個圖形是16=4²=1+2+3+4+3+2+1，則按照此規律得到第n個圖形為：（n+1）²=1+2+3+4+…+（n-1）+n+（n+1）+n+（n-1）+（n-2）+…+1=[1+2+3+4+…+（n-1）+n]+[（n+1）+n+（n-1）+（n-2）+…+1]，然后求出即可．

解答：解：∵4=2²=1+2+1，
9=3²=1+2+3+2+1，
16=4²=1+2+3+4+3+2+1，
∴36=6²=1+2+3+4+5+6+5+4+3+3+2+1=15+21；
（n+1）²=1+2+3+4+…+（n-1）+n+（n+1）+n+（n-1）+（n-2）+…+1
=[1+2+3+4+…+（n-1）+n]+[（n+1）+n+（n-1）+（n-2）+…+1]
=

1

2

n（n+1）+

1

2

（n+1）（n+2），
∴第2012個圖中：
∴2013²=

2013×(2013-1)

2

+

2013×(2013+1)

2

．
故答案為：2013²=

2013×(2013-1)

2

+

2013×(2013+1)

2

．

點評：本題考查了規律型：數字的變化類：通過從一些特殊的數字變化中發現不變的因素或按規律變化的因素，然后推廣到一般情況．