Question

如圖，在直角梯形AOCB中，AB∥OC，∠AOC=90°，AB=1，AO=2，OC=3，以O為原點，OC、OA所在直線為軸建立坐標系．拋物線頂點為A，且經過點C．點P在線段AO上由A向點O運動，點O在線段OC上由C向點O運動，QD⊥OC交BC于點D，OD所在直線與拋物線在第一象限交于點E．

（1）求拋物線的解析式；

（2）點E′是E關于y軸的對稱點，點Q運動到何處時，四邊形OEAE′是菱形？

（3）點P、Q分別以每秒2個單位和3個單位的速度同時出發，運動的時間為t秒，當t為何值時，PB∥OD？

 

Answer 1

【答案】

解：（1）∵A（0，2）為拋物線的頂點，∴設y=ax²+2。

∵點C（3，0），在拋物線上，∴9a+2=0，解得：。

∴拋物線的解析式為；。

（2）若要四邊形OEAE′是菱形，則只要AO與EE′互相垂直平分，

∴EE′經過AO的中點，∴點E縱坐標為1，代入拋物線解析式得：，

解得：。

∵點E在第一象限，∴點E為（，1）。

設直線BC的解析式為y=kx+b，

把B（1，2），C（3，0），代入得：，解得。

∴BC的解析式為：。

設直線EO的解析式為y=ax，將E點代入，可得出EO的解析式為：。

由，得：，

∴直線EO和直線BC的交點坐標為：（，）。

∴Q點坐標為：（，0）。

∴當Q點坐標為（，0）時，四邊形OEAE′是菱形。

   （3）設t為m秒時，PB∥DO，又QD∥y軸，則有∠APB=∠AOE=∠ODQ，

又∵∠BAP=∠DQO，則有△APB∽△QDO。

∴。

由題意得：AB=1，AP=2m，QO=3﹣3m，

又∵點D在直線y=﹣x+3上，∴DQ=3m。

∴，解得：。

經檢驗：是原分式方程的解。

∴當t=秒時，PB∥OD。

【解析】（1）根據頂點式將A，C代入解析式求出a的值，進而得出二次函數解析式。

（2）利用菱形的判定得出AO與EE′互相垂直平分，利用E點縱坐標得出x的值，進而得出BC，EO直線解析式，再利用兩直線交點坐標求法得出Q點坐標，即可得出答案。

（3）首先得出△APB∽△QDO，進而得出，求出m的值，進而得出答案。