Question

如圖，在直角梯形ABCD中，AB∥CD，∠ABC=90°，AB=4，BC=5

6

，CD=9．
（1）在BC邊上找一點O，過O點作OP⊥BC交AD于P，且OP²=AB•DC．求BO的長；
（2）以BC所在直線為x軸，OP所在直線為y軸，建立平面直角坐標系，求經過A、O、D三點的拋物線的解析式，并畫出引拋物線的草圖；
（3）在（2）中的拋物線上，連接AO、DO，證明：△AOD為直角三角形；過P點任作一直線與拋物線相交于A′（x₁，y₁），D′（x₂，y₂）兩點，連接A′O、B′O，試問：△A′O′D′還為直角三角形嗎？請說明理由．

Answer 1

分析：（1）本題可通過構建相似三角形來求解，先求出OP的長，然后過A作AF∥BC交CD于F，交OP于E，根據AB、OP、CD的長可求出DF、PE的長，然后根據△APE和△ADF相似可求出AE即BO的長．
（2）在（1）中求出了BO的長，即可得出OC的長，那么A、D的坐標就可求得．然后用待定系數法可求出拋物線的解析式．
（3）①證∠AOD=90°，可連接OA，OD通過證△AOB∽△ODC來得出∠AOB=∠ODC，進而求得∠AOB+∠DOC=∠ODC+∠DOC=90°，以此來證得∠AOD=90°．證兩三角形相似時，可根據A、D的坐標求出AB，OB，OC，CD的長，然后證他們對應成比例即可．
②方法同①，可設直線的解析式為y=kx+b（k≠0），求出與拋物線的交點然后同①．

解答：解：（1）在BC上取一點O，作OP⊥BC交AD于點P．
由OP²=BA•CD=4×9=36，得OP=6（取正），
過點A作直線AE∥BC，交OP于E，交CD于F．則BO=AE=

EP

FD

•AF=

2

5

×5

6

=2

6

．（3分）

（2）根據題意建立直角坐標系，如圖所示，則A（-2

6

，4），B（-2

6

，0），
O（0，0），C（3

6

，0），D（3

6

，9），
過A、O、D三點的拋物線的解析式y=ax²+bx+c滿足

a•(-2 6 )2+b•(-2 6 )+c=4 a•02+b•0+c=0 a•(3 6 )2+b•(3 6)+c=9

解得

a= 1 6 b=0 c=0

，
∴拋物線的解析式為y=

1

6

x²．

（3）連接OA、OD，在Rt△AOB和Rt△ODC中，
∴

AB

BO

=

4

2 6

=

6

3

，

OC

CD

=

3 6

9

=

6

3

∴

AB

OB

=

OC

CD

，
∴Rt△AOB∽Rt△ODC，
∴∠AOD=180°-90°=90°，
∴△AOD為直角三角形．

點評：本題主要考查了直角梯形的性質、二次函數解析式的確定、相似三角形的判定和性質等知識點．