Question

已知：如圖，在直角梯形COAB中，OC∥AB，∠AOC=90°，AB=4，AO=8，OC=10，以O為原點建立平面直角坐標系，點D為線段BC的中點，動點P從點A出發，以每秒4個單位的速度，沿折線AOCD向終點C運動，運動時間是t秒．
（1）D點的坐標為

 

；
（2）當t為何值時，△APD是直角三角形；
（3）如果另有一動點Q，從C點出發，沿折線CBA向終點A以每秒5個單位的速度與P點同時運動，當一點到達終點時，兩點均停止運動，問：P、C、Q、A四點圍成的四邊形的面積能否為28？如果可能，求出對應的t；如果不可能，請說明理由．

Answer 1

分析：（1）坐標系中線段中點的坐標等于線段兩端點坐標和的一半；
（2）分兩種情況，DP垂直AP或PD垂直DA；
（3）利用已知條件可求BC=10，直角梯形COAB的面積=56．假設P、C、Q、A四點圍成的四邊形的面積為28，由于動點P從點A出發到達點O時，用時2秒，此時從C點出發的點Q恰好到達點B，P、C、Q、A四點圍成的四邊形即為直角梯形COAB，所以t=2秒時四邊形的面積不能為28．下面分兩種情況分別討論：①t＜2秒；②t＞2秒．

解答：（1）解：∵AO=8，
∴從點D向OA引垂線，垂足為D₁，OD₁=4．從D向OC引垂線，垂足為D₂．OD₂=DD₁=

1

2

（AB+CO）=7．
故D點的坐標是（4，7）．
故填（4，7）．（4分）

（2）解：直角三角形即能滿足勾股定理．
則根據速度公式可得：當DP⊥AO，
點D為線段BC的中點，D點的坐標是（4，7）．
∴AP=4，
t₁=1（6分）
利用勾股定理表示出AP₁²=8²+（4t-8）²，AD²=4²+7²
t₂=

89

28

．（8分）

（3）解：存在對應的t，能夠使P、C、Q、A四點圍成的四邊形的面積為28．理由如下：
由于t=2秒時，P、C、Q、A四點圍成的四邊形即為直角梯形COAB，
所以t=2秒時四邊形的面積不能為28．
AP=4t，CQ=5t．
下面分兩種情況分別討論：①t＜2秒時，點P在邊OA上，點Q在邊BC上．
∵四邊形PCQA的面積=28，
∴△POC的面積+△ABQ的面積=直角梯形COAB的面積-四邊形PCQA的面積=28，
∴

1

2

×10×（8-4t）+

1

2

×4×

4(10-5t)

5

=28，
解得t=1．
∵1＜2，
∴t=

25

9

符合題意；
②t＞2秒時，點P在邊OC上，點Q在邊AB上，四邊形PCQA為梯形．
∵四邊形PCQA的面積=28，
∴

1

2

（18-4t+14-5t）×8=28，
解得t=

25

9

．
∵

25

9

＜

14

5

，
∴t=

25

9

符合題意．
故當t=1或

25

9

時，P、C、Q、A四點圍成的四邊形的面積為28．

點評：本題考查梯形，坐標與圖形性質，直角三角形的判定等，注意動態問題要考慮全面．