Question

（2013•郴州）如圖，在直角梯形AOCB中，AB∥OC，∠AOC=90°，AB=1，AO=2，OC=3，以O為原點，OC、OA所在直線為軸建立坐標系．拋物線頂點為A，且經(jīng)過點C．點P在線段AO上由A向點O運動，點Q在線段OC上由C向點O運動，QD⊥OC交BC于點D，OD所在直線與拋物線在第一象限交于點E．
（1）求拋物線的解析式；
（2）點E′是E關于y軸的對稱點，點Q運動到何處時，四邊形OEAE′是菱形？
（3）點P、Q分別以每秒2個單位和3個單位的速度同時出發(fā)，運動的時間為t秒，當t為何值時，PB∥OD？

Answer 1

分析：（1）根據(jù)頂點式將A，C代入解析式求出a的值，進而得出二次函數(shù)解析式；
（2）利用菱形的性質(zhì)得出AO與EE′互相垂直平分，利用E點縱坐標得出x的值，進而得出BC，EO直線解析式，再利用兩直線交點坐標求法得出Q點坐標，即可得出答案；
（3）首先得出△APB∽△QDO，進而得出

AP

DQ

=

AB

QO

，求出m的值，進而得出答案．

解答：解：（1）∵A（0，2）為拋物線的頂點，
∴設y=ax²+2，
∵點C（3，0），在拋物線上，
∴9a+2=0，
解得：a=-

2

9

，
∴拋物線為；y=-

2

9

x²+2；

（2）如果四邊形OEAE′是菱形，則AO與EE′互相垂直平分，
∴EE′經(jīng)過AO的中點，
∴點E縱坐標為1，代入拋物線解析式得：
1=-

2

9

x²+2，
解得：x=±

3

2

2

，
∵點E在第一象限，
∴點E為（

3

2

2

，1），
設直線BC的解析式為y=kx+b，把B（1，2），C（3，0），代入得：

k+b=2 3k+b=0

，
解得：

k=-1 b=3

，
∴BC的解析式為：y=-x+3，
將E點代入y=ax，可得出EO的解析式為：y=

2

3

x，
由

y= 2 3 x y=-x+3

，
得：

x= 27-9 2 7 y= 9 2 -6 7

，
∴Q點坐標為：（

27-9 2

7

，0），
∴當Q點坐標為（

27-9 2

7

，0）時，四邊形OEAE′是菱形；

（3）法一：設t為m秒時，PB∥DO，又QD∥y軸，則有∠APB=∠AOE=∠ODQ，
又∵∠BAP=∠DQO，則有△APB∽△QDO，
∴

AB

QO

=

AP

DQ

，
由題意得：AB=1，AP=2m，QO=3-3m，
又∵點D在直線y=-x+3上，∴DQ=3m，
因此：

1

3-3m

=

2m

3m

，解得：m=

1

2

，
經(jīng)檢驗：m=

1

2

是原分式方程的解，
∴當t=

1

2

秒時，PB∥OD．
法二：作BH⊥OC于H，則BH=AO=2，OH=AB=1，HC=OC-OH=2，
∴BH=HC，∴∠BCH=∠CBH=45°，
易知DQ=CQ，
設t為m秒時PB∥OE，則△ABP∽△QOD，
∴

AP

DQ

=

AB

QO

，易知AP=2m，DQ=CQ=3m，QO=3-3m，
∴

2m

3m

=

1

3-3m

，
解得m=

1

2

，經(jīng)檢驗m=

1

2

是方程的解，
∴當t為

1

2

秒時，PB∥OD．

點評：此題主要考查了菱形的判定與性質(zhì)以及頂點式求二次函數(shù)解析式以及相似三角形的判定與性質(zhì)等知識，根據(jù)數(shù)形結(jié)合得出△APB∽△QDO是解題關鍵．