Question

（2009•梧州）如圖所示，△ABC內接于⊙O，AB是⊙O的直徑，點D在⊙O上，過點C的切線交AD的延長線于點E，且AE⊥CE，連接CD．
（1）求證：DC=BC；
（2）若AB=5，AC=4，求tan∠DCE的值．

Answer 1

【答案】分析：（1）連接OC，求證DC=BC可以證明∠CAD=∠BAC，進而證明；
（2）AB=5，AC=4，根據勾股定理就可以得到BC=3，易證△ACE∽△ABC，則∠DCE=∠BAC，則tan∠DCE的值等于tan∠BAC，在直角△ABC中根據三角函數的定義就可以求出．
解答：（1）證明：連接OC．               （1分）
∵OA=OC，
∴∠OAC=∠OCA．
∵CE是⊙O的切線，
∴∠OCE=90°．                   （2分）
∵AE⊥CE，
∴∠AEC=∠OCE=90°．
∴OC∥AE．                       （3分）
∴∠OCA=∠CAD．
∴∠CAD=∠BAC．                  （4分）
∴．
∴DC=BC．                        （5分）

（2）解：∵AB是⊙O的直徑，
∴∠ACB=90°．
∴BC==3．  （6分）
∵∠CAE=∠BAC，∠AEC=∠ACB=90°，
∴△ACE∽△ABC．                 （7分）
∴．
∴．              （8分）
∵DC=BC=3，
∴．（9分）
∴tan∠DCE=．            （10分）
點評：證明圓的弦相等可以轉化為證明弦所對的弧相等，并且本題考查了三角函數的定義，三角函數值只與角的大小有關．