Question

（2009•梧州）如圖（1），拋物線y=ax²-3ax+b經過A（-1，0），C（3，-2）兩點，與y軸交于點D，與x軸交于另一點B．
（1）求此拋物線的解析式；
（2）若直線y=kx+1（k≠0）將四邊形ABCD面積二等分，求k的值；
（3）如圖（2），過點E（1，1）作EF⊥x軸于點F，將△AEF繞平面內某點P旋轉180°得△MNQ（點M、N、Q分別與點A、E、F對應），使點M、N在拋物線上，求點N和點P的坐標？

Answer 1

【答案】分析：（1）把A、C的坐標代入拋物線得到方程組，求出方程組的解即可
（2）求出B、D的坐標，根據勾股定理求出等腰梯形ADCB，取DC中點E，則E的坐標是（，-2），過E作EF⊥AB于F，取EF的中點G，則G的坐標是（，-1），則過G的直線（直線與AB和CD相交）都能把等腰梯形ABCD的面積二等份，把G的坐標代入y=kx+1即可求出答案；
（3）把x=1代入y=x²-x-2求出N的坐標，根據對稱求出QF，即可求出P的坐標．
解答：解：（1）∵拋物線y=ax²-3ax+b經過A（-1，0），C（3，-2），
代入得：．
∴，
∴y=x²-x-2，
答：此拋物線的解析式為y=x²-x-2；

（2）y=x²-x-2=0，
∴x₁=-1，x₂=4，
∴B（4，0），
當x=0時，y=-2，
∴D（0，-2），
∵C（3，-2），
∴DC∥AB，
由勾股定理得：AD=BC=，
∴四邊形ADCB是等腰梯形，
∵D（0，-2），C（3，-2），
∴取DC中點E，則E的坐標是（，-2），
過E作EF⊥AB于F，取EF的中點G，則G的坐標是（，-1），
則過G的直線（直線與AB和CD相交）都能把等腰梯形ABCD的面積二等份，
把G的坐標代入y=kx+1得：k=-，
即k=-．

（3）設Q（m，n），則M（m+2，n），N（m，n-1），
代入y=x²-x-2中，得，
解得，∴Q（1，-2），N（1，-3），
又Q的對應點為F（1，0），
∴QF的中點為旋轉中心P，
即P（1，-1），點N和點M的坐標分別為：（1，-3），（3，-2）．
點評：本題主要考查對用待定系數法求一次函數、二次函數的解析式，勾股定理，中心對稱，解二元一次方程組，二次函數圖象上點的坐標特征等腰梯形的判定等知識點的理解和掌握，能綜合運用這些性質進行計算是解此題的關鍵．