Question

如圖，已知：PA切⊙O于A，割線PBC交⊙O于B，C，PD⊥AB于D，延長PD交AO的延長線于E，連接CE并延長，交⊙O于F，連接AF．
（1）求證：PD•PE=PB•PC；
（2）求證：PE∥AF；
（3）連接AC，若AE：AC=1：

2

，AB=2，求EF的長．

Answer 1

分析：（1）欲證PD•PE=PB•PC，在此題所給的已知條件中，∠APE的余弦值在△APD和△APE中，有兩種表示方法，從而得出一個等積式，根據切割線定理，再得到一個等積式，從而借助于PA²得到PD•PE=PB•PC；
（2）可證△PBD∽△PEC，再根據相似三角形的性質和圓內接四邊形的性質得到∠PEC=∠AFC，根據平行線的判定即可得出結論；
（3）分別證明△PAB∽△PCA，△AEF∽△APB，得出兩個比例式，聯立有

EF

AE

=

AB

AC

，再代值即可求出EF的長．

解答：（1）證明：∵PA切⊙O于點A，
∴AO⊥PA．
∵PD⊥AB，
∴

PA

PE

=cos∠APE=

PD

PA

．
∴PA²=PD×PE…①
∵PBC是⊙O的割線，PA為⊙O切線，
∴PA²=PB×PC…②
聯立①②，得PD•PE=PB•PC；

（2）證明：∵PD•PE=PB•PC（已證），
∴

PB

PD

=

PE

PC

，
∵∠BPD為公共角，
∴△BDP∽△EPC，
∴∠PBD=∠PEC，
∵四邊形ABCF內接圓，
∴∠ABP=∠AFC，
∴∠AFC=∠PEC，
∴PE∥AP；

（3）解：∵AP是⊙O的切線，
∴∠PAB=∠PCA，
∵∠APB=∠CPA，
∴△PAB∽△PCA，
∴

AB

AC

=

PB

PA

…①，
∵∠PAE=∠ADP=90°，
∴∠APD+∠PAD=90°，
∠APD+∠AEP=90°，
∴∠PAB=∠AEP=∠FAE，
∵∠ABP=∠F，
∴△AEF∽△APB，
∴

EF

PB

=

AE

AP

，即

EF

AE

=

PB

PA

…②
聯立①②，有

EF

AE

=

AB

AC

，
∴EF=AE×

AB

AC

=

1

2

×2=

2

．

點評：此題考查了三角函數、切割線定理，以及相似的判定和性質，比較全面，有一定的難度．