Question

【題目】如圖，已知拋物線yax2bxc(a0)經過A(1,0)，B(4,0)，C(0,2)三點．

（1）求這條拋物線和直線BC的解析式；

（2）E為拋物線上一動點，是否存在點E，使以A、B、E為頂點的三角形與COB相似？若存在，試求出點E的坐標；若不存在，請說明理由

Answer 1

【答案】（1）；；（2）點的坐標為或．

【解析】

（1）設拋物線的解析式為，把點C的坐標代入求出a的值即可得出拋物線的解析式；然后利用待定系數法求直線BC的解析式；

（2）易得只能是以E為直角頂點的三角形，利用勾股定理的逆定理可證明，再證明，所以當點E在點C時滿足條件，當E為點C在拋物線上的對稱點時也滿足條件，利用對稱性寫出點E的坐標即可．

解：（1）設拋物線解析式為，

把代入得，

解得：，

拋物線解析式為，

即；

設直線的解析式為，

把代入，

得，

解得，

直線的解析式為；

（2）存在．

由圖象可得以或點為直角頂點的不存在，

只能是以點為直角頂點的三角形，

，

，

為直角三角形，，

，

當點在點時，以為頂點的三角形與相似；

點關于直線的對稱點的坐標為，

點的坐標為時，以為頂點的三角形與相似，

綜上所述，點的坐標為或．