Question

14．如圖所示，已知二次函數經過點B（3，0），C（0，3），D（4，-5）
（1）求拋物線的解析式；
（2）求△ABC的面積；
（3）若P是拋物線上一點，且S_△ABP=$\frac{1}{2}$S_△ABC，這樣的點P有幾個請直接寫出它們的坐標．

Answer 1

分析 （1）設拋物線的解析式為y=ax²+bx+c，把點B（3，0），C（0，3），D（4，-5）分別代入求出a，b，c即可．
（2）求得A的坐標，然后根據三角形面積公式求得即可；
（3）根據題意求得S_△ABP=3，設P的縱坐標為n，根據三角形面積公式得出$\frac{1}{2}$AB•|n|=3，解得n=±$\frac{3}{2}$，代入拋物線的解析式即可求得．

解答 解：（1）設二次函數的解析式為y=ax²+bx+c（a≠0），
由題意可得函數經過B（3，0），C（0，3），D（4，-5）三點
$\left\{\begin{array}{l}{9a+3b+c=0}\\{c=3}\\{16a+4b+c=-5}\end{array}\right.$
解得$\left\{\begin{array}{l}{a=-1}\\{b=2}\\{c=3}\end{array}\right.$，
所以二次函數的解析式為y=-x²+2x+3；
（2）由題意得，-x²+2x+3=0   x₁=-1，x₂=3，
∴A點坐標為（-1，0），
∵AB=4，OC=3，
∴S_△ABC=$\frac{1}{2}$×4×3=6；
（3）設P的縱坐標為n，
∵S_△ABP=$\frac{1}{2}$S_△ABC，
∴S_△ABP=3，
即$\frac{1}{2}$AB•|n|=3，解得n=±$\frac{3}{2}$，
∴±$\frac{3}{2}$=-x²+2x+3，解x=$\frac{2±\sqrt{10}}{2}$或x=$\frac{2±\sqrt{22}}{2}$，
∴這樣的點P有4個，它們分別是（$\frac{2+\sqrt{10}}{2}$，$\frac{3}{2}$），（$\frac{2-\sqrt{10}}{2}$，$\frac{3}{2}$），（$\frac{2+\sqrt{22}}{2}$，-$\frac{3}{2}$），（$\frac{2-\sqrt{22}}{2}$，-$\frac{3}{2}$）．

點評 本題考查了待定系數法求函數解析式、拋物線與x軸的交點、三角形的面積，解題的關鍵是先求出函數解析式．