Question

已知四邊形ABCD各邊中點分別是E、F、G、H，如果四邊形EFGH是正方形，那么四邊形ABCD滿足的條件是

AC⊥BD且AC=BD

．

Answer 1

分析：所添加的條件為AC⊥BD且AC=BD，由四邊形ABCD的各邊中點分別為E、F、G、H，利用三角形的中位線定理得到EF平行于AC，且等于AC的一半，HG平行于AC，且等于AC的一半，可得出EF與HG平行且相等，得到四邊形EFGH為平行四邊形，由EH為三角形ABD的中位線，得到EH等于BD的一半，而AC=BD，可得出EH=EF，利用鄰邊相等的平行四邊形為菱形可得出四邊形EFGH為菱形，而AC與BD垂直，再根據兩組對邊平行的四邊形為平行四邊形得到四邊形EQOP為矩形，利用矩形的性質得到∠HEF為直角，利用有一個角為直角的菱形為正方形即可得證．

解答：解：四邊形ABCD滿足的條件是AC⊥BD且AC=BD，理由為：
證明：∵E、F、G、H分別為AB、BC、CD、AD的中點，
∴EF為△ABC的中位線，HG為△ADC的中位線，
∴EF∥AC，EF=

1

2

AC，HG∥AC，HG=

1

2

AC，
∴EF∥HG，且EF=HG，
∴四邊形EFGH為平行四邊形，
同理EH∥BD，EH=

1

2

BD，
∴EH=EF，
∴四邊形EFGH為菱形，
∵EF∥AC，EH∥BD，
∴四邊形QOPE為平行四邊形，
∵AC⊥BD，∴∠QOP=90°，
∴四邊形QOPE為矩形，
∴∠HEF=90°，
則四邊形EFGH為正方形．
故答案為：AC⊥BD且AC=BD

點評：此題考查了中點四邊形，涉及的知識有：平行四邊形、矩形、菱形及正方形的判定與性質，以及三角形中位線定理，熟練掌握中位線定理是解本題的關鍵．