Question

4．如圖，AE是⊙O的直徑，B，D是⊙O上的點，AD與EB交于點C，連結AB和DE，過點E的直線與AC的延長線交于點F，且∠F=∠CED=∠AED．
（1）求證：EF是⊙O切線；
（2）若CD=CF=6，求BE的長．

Answer 1

分析 （1）利用圓周角定理得到∠ADE=90°，則∠F+∠FED=90°，于是根據(jù)∠F=∠AED得到∠AEF=90°，然后根據(jù)切線的判定定理可得EF是⊙O切線；
（2）先證明△DCE∽△DEF，則利用相似比可計算出DE=6$\sqrt{2}$，再判斷△AEC為等腰三角形得到EA=EC，AD=CD=6，接著根據(jù)勾股定理得到AE=6$\sqrt{3}$，然后利用面積法計算出AB=4$\sqrt{6}$，最后利用勾股定理計算BE的長．

解答 （1）證明：∵AB為直徑，
∴∠ADE=90°，
∴∠F+∠FED=90°，
∵∠F=∠AED，
∴∠AED+∠FED=90°，即∠AEF=90°，
∴AE⊥EF，
∴EF是⊙O切線；
（2）解：∵∠CED=∠F，∠CDE=∠EDF，
∴△DCE∽△DEF，
∴$\frac{DC}{DE}$=$\frac{DE}{DF}$，即$\frac{6}{DE}$=$\frac{DE}{12}$，解得DE=6$\sqrt{2}$，
∵ED⊥AD，∠AED=∠CED，
∴△AEC為等腰三角形，
∴EA=EC，AD=CD=6，
在Rt△ADE中，AE=$\sqrt{A{D}^{2}+D{E}^{2}}$=$\sqrt{{6}^{2}+（6\sqrt{2}）^{2}}$=6$\sqrt{3}$，
∴EC=6$\sqrt{3}$，
∵$\frac{1}{2}$CE•AB=$\frac{1}{2}$DE•AC，
∴AB=$\frac{6\sqrt{2}×12}{6\sqrt{3}}$=4$\sqrt{6}$，
在Rt△ABE中，BE=$\sqrt{A{E}^{2}-A{B}^{2}}$=$\sqrt{（6\sqrt{3}）^{2}-（4\sqrt{6}）^{2}}$=2$\sqrt{3}$．

點評 本題考查了切線的判定：經過半徑的外端且垂直于這條半徑的直線是圓的切線．當已知條件中明確指出直線與圓有公共點時，常連接過該公共點的半徑，證明該半徑垂直于這條直線．熟練應用勾股定理和相似比計算線段的長是解決（2）小題的關鍵．