Question

閱讀下面資料：
小明遇到這樣一個問題：如圖1，對面積為a的△ABC逐次進行以下操作：分別延長AB、

BC、CA至A₁、B₁、C₁，使得A₁B=AB，B₁C=BC，C₁A=CA，順次連接A₁、B₁、C₁，

得到△A₁B₁C₁，記其面積為S₁，求S₁的值．
小明是這樣思考和解決這個問題的：如圖2，連接A₁C、B₁A、C₁B，因為A₁B=AB，

B₁C=BC，C₁A=CA，根據等高兩三角形的面積比等于底之比，

圖1 圖2

所以，由此繼續推理，從而解決了這個問題．

（1）請直接寫出S₁= ；（用含字母a的式子表示）．
請參考小明同學思考問題的方法，解決下列問題：
（2）如圖3，對面積為a的△ABC逐次進行以下操作：分別延長AB、BC、CA至A₁、

B₁、C₁，使得A₁B=2AB，B₁C=2BC，C₁A=2CA，順次連接A₁、B₁、C₁，得到△A₁B₁C₁，記其

面積為S₂，求S₂的值．

（3）如圖4，P為△ABC內一點，連接AP、BP、CP并延長分別交邊BC、AC、AB于

點D、E、F，則把△ABC分成六個小三角形，其中四個小三角形面積已在圖上標明，設△APE的面積為y，△BPF的面積為x，

①求△APE ，△BPF，△APF 面積之間的關系；

②求△ABC的面積．

	圖3		圖4

Answer 1

（1）S₁=7a；

（2）

∵A₁B=2AB，B₁C=2BC，C₁A=2CA

根據等高兩三角形的面積比等于底之比，

∴S_△A1BC＝S_△B1CA=S_△C1AB＝2S_△ABC＝2a

∴S₁=19a；

（3）

①過點C作CG⊥BE于點G，
∵S_△BPC＝BP•CG＝70；S_△PCE＝PE•CG＝35，
∴

∴   即：BP=2EP

同理，

∴S_△APB=2S_△APF．

=x，S_△APE=y，
∴x+84=2y．

②∵,

  又∵x+84=2y

∴

∵S_△BPF

∴S_△ABC=315．