Question

【題目】如圖，在正方形中，的頂點，分別在，邊上，高與正方形的邊長相等，連接分別交，于點，，下列說法：①；②連接，，則為直角三角形；③；④若，，則的長為，其中正確結論的個數是（ ）

A.4B.3C.2D.1

Answer 1

【答案】A

【解析】

根據正方形的性質及HL定理求得Rt△AEB≌Rt△AEG，Rt△AFD≌Rt△AFG，從而求得∠EAB=∠EAG，∠FAD=∠FAG，然后求得2∠EAG+2∠FAG=90°，從而得到，由此判斷①；

將△ADN繞點A順時針旋轉90°至△ABH位置，連接MH，MG，NG，由旋轉的性質根據結合SAS定理求得△AHM≌△ANM，得到MN=MH，結合正方形和旋轉的性質求得∠HBM=∠ABH+∠ABD=90°，從而可得MH2=HB2+BM2，然后根據SAS定理求得△ABM≌△AGM，△AND≌△AANG，從而得到BM=GM，DN=GN，從而求得MN2=MG2+NG2，由此判斷②；

由垂直可得∠AEG =90°-∠EAG，然后結合①中已證∠EAG+∠FAG=∠EAG+∠FAD=45°，可得∠ANM=90°-∠EAG，由此得到∠AEG =∠ANM，然后根據AA定理求得三角形形式，由此判斷③；

旋轉△ABE到△ADH，由旋轉性質和SAS定理可得得△ABE≌△ADH，△AEF≌△AHF，設CF=a，在Rt△CEF中，根據勾股定理列方程求a，從而求得正方形的邊長，設MN=x，結合②中的結論列方程求x的值，從而判斷④．

解：如圖中，

∵四邊形ABCD是正方形，

∴AB=AD，∠ABC=∠ADC=90°，

∵AG⊥EF，

∴∠AGE=∠ABC=90°，

在Rt△AEB和Rt△AEG中， ，

∴Rt△AEB≌Rt△AEG，

∴∠EAB=∠EAG，

同理可證Rt△AFD≌Rt△AFG，

∴∠FAD=∠FAG，

∴2∠EAG+2∠FAG=90°，

∴∠EAG+∠FAG=45°，

∴∠EAF=45°，故①正確；

如圖②，將△ADN繞點A順時針旋轉90°至△ABH位置，連接MH，MG，NG

由旋轉知：∠BAH=∠DAN，AH=AN，

∵四邊形ABCD是正方形，

∴∠BAD=90°，

∵∠EAF=45°，

∴∠BAM+∠DAN=45°，

∴∠HAM=∠BAM+∠BAH=45°，

∴∠HAM=∠NAM，又AM=AM，

∴△AHM≌△ANM，

∴MN=MH

∵四邊形ABCD是正方形，

∴∠ADB=∠ABD=45°．

由旋轉知：∠ABH=∠ADB=45°，HB=ND，

∴∠HBM=∠ABH+∠ABD=90°，

∴MH2=HB2+BM2，

∴MN2=MB2+ND2．

又∵AB=AG，∠EAB=∠EAG，AM=AM

∴△ABM≌△AGM

∴BM=GM

同理可證：△AND≌△AANG

∴DN=GN

∴MN2=MG2+NG2

即為直角三角形，故②正確；

∵AG⊥EF

∴∠AEG =90°-∠EAG

又∵∠ANM=∠BDA+∠DAF=45°+∠DAF

由①可知：∠EAG+∠FAG=∠EAG+∠FAD=45°

∴∠ANM=90°-∠EAG

∴∠AEG =∠ANM

又∵

∴，故③正確；

如圖3中，

旋轉△ABE到△ADH，△ABE≌△ADH

∴DH=BE=2，

同理②中可證：△AEF≌△AHF，

∴FH=EF，設CF=a

∴CD=CF+DF=a+3，EF=FH=DF+DH=5，

∵四邊形ABCD是正方形，

∴BC=CD=a+3

∴CE=BC-BE=a+3-2=a+1，

在Rt△CEF中，根據勾股定理得，（a+1）2+32=25

∴a=3或a=-5（舍），

∴CF=3，

∴CD=6，

∴正方形的邊長為6；

由正方形ABCD的邊長為6，

∴BD=CD=6，

由①可知△MAN=45°，

∵AB=AD，∠BAD=90°，

由②得BM2+DN2=MN2，

設MN=x，

∵BD=6，BM=，

∴DN=

∴

解得x=，

∴MN=，故④正確

故選：A．