Question

用十進制表示某些自然數，恰等于它的各位數字之和的16倍．求所有這樣的自然數之和？

Answer 1

分析：首先設這個數的位數為n，然后分別從（1）當n=1時，設個位為a，則16a=a，（2）當n=2時，設個位、十位分別為a、b，則16（a+b）=10b+a，（3）當n=3時，設個、十、百位分別為a、b、c，則16（a+b+c）=100c+10b+a，（4）當n=4時，設個、十、百、千位分別為a、b、c、d，則16（a+b+c+d）=1000d+100c+10b+a去分析求解，即可求得答案．

解答：解：設這個數的位數為n，
（1）當n=1時，設個位為a，則16a=a，
解得：a=0；
（2）當n=2時，設個位、十位分別為a、b，則16（a+b）=10b+a，
即6b+15a=0，
∵a是從0到9的整數，b是從1到9的整數，
∴左邊大于0，不成立，舍去；
（3）當n=3時，設個、十、百位分別為a、b、c，則16（a+b+c）=100c+10b+a，
即6b+15a=84c，此時有可能成立；
①當c≥3時，6a+15b≥252，
∵a、b的最大值為9，
∴6a+15b≤189，
∴此時無解，舍去．
②當c=2時，6b+15a=168，
∵a、b的最大值為9，
∴容易判斷此時只有一組解a=8，b=8，即此時此數為288，
③當c=1時，6b+15a=84，
∴a=2，b=9或a=4，b=4，
也就是說這個分類下有2個數，即144和192；
（4）當n=4時，設個、十、百、千位分別為a、b、c、d，則16（a+b+c+d）=1000d+100c+10b+a，
∵一個n位數中除了最高位是從1到9的數外，其他數位都是從0到9的數，
∴右邊最小值為1000，而左邊最大值為16×9+9+9+9）＜1000，
∴方程不可能有解．
∴這個數不是4位數；
同理：當n＞4時，無解；
∴符合條件的共有4個數：0，192、144、288．
∴0+192+144+288=624．
答：所有這樣的自然數之和是624．

點評：此題考查了數的十進制的應用．此題難度較大，注意根據“這些自然數恰好等于它的各位數字之和的16倍”確定這些自然數的位數是完成本題的關鍵，注意分類討論思想的應用．