Question

用十進(jìn)制表示某些自然數(shù)，恰等于它的各位數(shù)字之和的16倍．求所有這樣的自然數(shù)之和？

Answer 1

設(shè)這個(gè)數(shù)的位數(shù)為n，
（1）當(dāng)n=1時(shí)，設(shè)個(gè)位為a，則16a=a，
解得：a=0；
（2）當(dāng)n=2時(shí)，設(shè)個(gè)位、十位分別為a、b，則16（a+b）=10b+a，
即6b+15a=0，
∵a是從0到9的整數(shù)，b是從1到9的整數(shù)，
∴左邊大于0，不成立，舍去；
（3）當(dāng)n=3時(shí)，設(shè)個(gè)、十、百位分別為a、b、c，則16（a+b+c）=100c+10b+a，
即6b+15a=84c，此時(shí)有可能成立；
①當(dāng)c≥3時(shí)，6a+15b≥252，
∵a、b的最大值為9，
∴6a+15b≤189，
∴此時(shí)無解，舍去．
②當(dāng)c=2時(shí)，6b+15a=168，
∵a、b的最大值為9，
∴容易判斷此時(shí)只有一組解a=8，b=8，即此時(shí)此數(shù)為288，
③當(dāng)c=1時(shí)，6b+15a=84，
∴a=2，b=9或a=4，b=4，
也就是說這個(gè)分類下有2個(gè)數(shù)，即144和192；
（4）當(dāng)n=4時(shí)，設(shè)個(gè)、十、百、千位分別為a、b、c、d，則16（a+b+c+d）=1000d+100c+10b+a，
∵一個(gè)n位數(shù)中除了最高位是從1到9的數(shù)外，其他數(shù)位都是從0到9的數(shù)，
∴右邊最小值為1000，而左邊最大值為16×9+9+9+9）＜1000，
∴方程不可能有解．
∴這個(gè)數(shù)不是4位數(shù)；
同理：當(dāng)n＞4時(shí)，無解；
∴符合條件的共有4個(gè)數(shù)：0，192、144、288．
∴0+192+144+288=624．
答：所有這樣的自然數(shù)之和是624．