Question

已知對任意正整數n都有a₁+a₂+a₃+…+a_n=n³，則

1

a2-1

+

1

a3-1

+

1

a4-1

+…+

1

a2011-1

=

 

．

Answer 1

分析：首先由a₁+a₂+a₃+…+a_n=n³，求得a₂、a₃、a₄與a₅的值，觀察得到規律為：a_n=3n（n-1）+1，即可求得a₂₀₁₁的值，代入

1

a2-1

+

1

a3-1

+

1

a4-1

+…+

1

a2011-1

，再提取公因式

1

3

，由

1

n(n+1)

=

1

n

-

1

n+1

，即可求得結果．

解答：解：∵a₁+a₂+a₃+…+a_n=n³，
∴a₁=1，a₁+a₂=8，a₁+a₂+a₃=27，a₁+a₂+a₃+a₄=64，a₁+a₂+a₃+a₄+a₅=125，
∴a₂=7，a₃=19，a₄=37，a₅=61，a_n=3n（n-1）+1，
∴a₂₀₁₁=3×2010×2011+1，
∴

1

a2-1

+

1

a3-1

+

1

a4-1

+…+

1

a2011-1

=

1

6

+

1

18

+

1

36

+

1

60

+…+

1

3×2010×2011

，
=

1

3

（

1

2

+

1

6

+

1

12

+

1

20

+…+

1

2010×2011

），
=

1

3

（1-

1

2

+

1

2

-

1

3

+

1

3

-

1

4

+

1

4

-

1

5

+…+

1

2010

-

1

2011

），
=

1

3

（1-

1

2011

），
=

670

2011

．
故答案為：

670

2011

．

點評：此題考查了規律性問題，考查了學生的觀察歸納能力．注意此題找到規律a_n=3n（n-1）+1與

1

n(n+1)

=

1

n

-

1

n+1

是解題的關鍵．