Question

已知對任意正整數n，都有a₁+a₂+…+a_n=n³，則

1

a2-1

+

1

a3-1

+

1

a4-1

+…+

1

a2008-1

=

2007

6024

．

Answer 1

分析：根據題干條件a₁+a₂+…+a_n=n³，可知a₁+a₂+…+a_n-1=（n-1）³，兩式相減求出a_n-1=3n²-3n，然后求出

1

an-1

，最后進行求和．

解答：解：∵a₁+a₂+…+a_n=n³…①，
∴a₁+a₂+…+a_n-1=（n-1）³…②，
①-②得a_n=3n²-3n+1，
∴a_n-1=3n²-3n，
∴

1

an-1

=

1

3

（

1

n-1

-

1

n

），
∴

1

a2-1

+

1

a3-1

+

1

a4-1

+…+

1

a2008-1

=

1

3

（1-

1

2008

）=

2007

6024

．
故答案為

2007

6024

．

點評：本題主要考查整數問題的綜合運用的知識點，解答本題的關鍵是求出a_n的表示式，此題難度不大．