Question

已知：拋物線與x軸相交于A、B兩點，與y軸相交于點C，其中

點C的坐標是（0，3），頂點為點D，聯結CD，拋物線的對稱軸與x軸交于點E．

（1）求m的值；

（2）求∠CDE的度數；

（3）在拋物線對稱軸的右側部分上是否存在一點P，使得△PDC是等腰三角形？如果

存在，求出符合條件的點P的坐標；如果不存在，請說明理由．

Answer 1

（1）∵拋物線過點C（0，3）
∴1-m=3
∴m=-2                              

（2）由（1）可知該拋物線的解析式為y=-x²+2x+3=-（x-1）²+4
∴此拋物線的對稱軸x=1
拋物線的頂點D（1，4）
過點C作CF⊥DE，則CF∥OE
∴F（1，3）
所以CF=1，DF=4-3=1
∴CF=DF
又∵CF⊥DE
∴∠DFC=90°
∴∠CDE=45°                                           

（3）存在．
①延長CF交拋物線于點P₁，則CP₁∥x軸，所以P₁正好是C點關于DE的對稱點時，有DC=DP₁，得出P₁點坐標（2，3）；
由y=-x²+2x+3得，D點坐標為（1，4），對稱軸為x=1．
②若以CD為底邊，則PD=PC，
設P點坐標為（x，y），根據兩點間距離公式，
得x²+（3-y）²=（x-1）²+（4-y）²，
即y=4-x．
又P點（x，y）在拋物線上，
∴4-x=-x²+2x+3，
即x²-3x+1=0，
解得：

＜1，應舍去；
∴

∴y=4-x=

則P₂點坐標（）
∴符合條件的點P坐標為（）和（2，3）．