Question

5．如圖，正方形ABCD中，對角線 AC、BD交于點P，O為線段BP上一點（不與B、P重合），以O為圓心OA為半徑作⊙O交直線AD、AB于E、F．
（1）求證：點C在⊙O上；
（2）求證：DE=BF；
（3）若AB=4$\sqrt{2}$，DE=$\sqrt{2}$，求BO的長度．

Answer 1

分析 （1）如圖1中，連接OC，欲證明點C在⊙O上，只要證明OA=OC即可．
（2）連接CE、CF，欲證明DE=BF，只要證明△FBC≌△EDC即可．
（3）如圖3中，連接EF，作OK⊥AB于K．首先證明EF是直徑，OK是△AEF的中位線，求出OK，再根據等腰直角三角形的性質即可解決問題．

解答 （1）證明：如圖1中，連接OC，

∵四邊形ABCD是正方形，
∴BD垂直平分AC，
∴OC=OA，
∴點C在⊙O上．

（2）連接CE、CF，

∵四邊形AFCE是⊙O的內接四邊形，
∴∠BFC+∠AEC=180°，∵∠DEC+∠AEC=180°，
∴∠BFC=∠DEC，
∵CD=BC，∠ADC=∠FBC=90°，
在△CBF和△CDE中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠CDE=∠CBF}\\{∠CED=∠CFB}\\{CD=CB}\end{array}\right.$，
∴△FBC≌△EDC，
∴DE=BF．

（3）如圖3中，連接EF，作OK⊥AB于K．

∵∠EAF=90°，
∴EF是⊙O的直徑，
∴OE=OF，
∵OK⊥AF，
∴AK=KF，
∴OK=$\frac{1}{2}$AE，
∵AB=AD=4$\sqrt{2}$，DE=$\sqrt{2}$，
∴AE=AD-DE=3$\sqrt{2}$，
∴OK=$\frac{3\sqrt{2}}{2}$，
∵∠OBK=45°，
∴BO=$\sqrt{2}$OK=3．

點評 本題考查圓綜合題、正方形的性質、全等三角形的判定和性質、三角形中位線定理、等腰直角三角形的性質等知識，解題的關鍵是靈活運用所學知識解決問題，學會添加常用輔助線，構造全等三角形解決問題，屬于中考壓軸題．