Question

【題目】如圖，在中，，，直角的頂點是中點，、分別交、于點、．給出以下四個結論：①；②是等腰直角三角形；③；④．上述結論正確的有（ ）

A.1個B.2個C.3個D.4個

Answer 1

【答案】C

【解析】

根據等腰三角形的性質可得∠PAE=∠BAC=45°，∠B=∠C=45°，PA⊥BC，可得∠C=∠PAE，根據直角三角形斜邊中線的性質可得PA=PC，根據角的和差關系可得∠FPC=∠EPA，利用ASA可證明△EPA≌△FPC，根據全等三角形的性質可得AE=CF，PE=PF，由∠EPF=90°，可得△EPF是等腰直角三角形，可判定①②正確；根據全等三角形的性質可知S△EPA=S△FPC，可得S四邊形AEPF=S△APC，由S△APC=S△ABC可判定③正確；只有當EF為△ABC的中位線時，EF=PC=PA，可判定④錯誤；綜上即可得答案．

∵AB=AC，∠BAC=90°，

∴∠B=∠C=45°，

∵點P為BC中點，AB=AC，∠BAC=90°，

∴∠PAE=∠PAC=45°，PA=PC，AP⊥BC，

∴∠C=∠PAC，

∵∠EPF=∠EPA+∠APF=90°，∠FPC+∠APF=90°，

∴∠EPA=∠FPC，

在△EPA和△FPC中，，

∴△EPA≌△FPC，

∴AE=CF，PE=PF，故①正確，

∵∠EPF=90°，

∴△EPF是等腰直角三角形，故②正確，

∵△EPA≌△FPC，

∴S△EPA=S△FPC，

∴S四邊形AEPF=S△EPA+S△PAF=S△FPC+S△PAF=S△APC，

∵PC=BC，

∴S△APC=S△ABC，

∴S四邊形AEPF=S△ABC，故③正確，

只有當EF為△ABC的中位線時，EF=PC=PA，故④錯誤；

綜上所述：正確的結論有①②③，共3個，

故選：C．