Question

【題目】如圖，折疊邊長為的正方形，使點落在邊上的點處（不與點，重合），點落在點處，折痕分別與邊、交于點、，與邊交于點.證明：

（1）；

（2）若為中點，則；

（3）的周長為.

Answer 1

【答案】（1）詳見解析；（2）詳見解析；（3）詳見解析.

【解析】

（1）根據(jù)折疊和正方形的性質(zhì)結(jié)合相似三角形的判定定理即可得出答案；

（2）設(shè)BE=x，利用勾股定理得出x的值，再利用相似三角形的性質(zhì)證明即可得出答案；

（3）設(shè)BM=x，AM=a-x，利用勾股定理和相似三角形的性質(zhì)即可得出答案.

證明：（1）∵四邊形是正方形，

∴，

∴，

∵為折痕，

∴，

∴，

∴，

在與中

∵，，

∴；

（2）∵為中點，

∴，

設(shè)，則，

在中，，

∴，即，

∴，

∴，，

由（1）知，，

∴，

∴，，

∴；

（3）設(shè)，則，，

在中，，

∴，即，

解得：，

由（1）知，，

∴，

∵，

∴.