Question

【題目】如圖，拋物線y＝ax2+bx+c交x軸分別于點A（﹣3，0），B（1，0），交y軸正半軸于點D，拋物線頂點為C．下列結論：①2a﹣b＝0；②a+b+c＝0；③a﹣b＞am2+bm；④當△ABC是等腰直角三角形時，a＝﹣0.5；⑤若D（0，3），則拋物線的對稱軸直線x＝﹣1上的動點P與B、D兩點圍成的△PBD周長最小值為．其中，正確的個數為_____．

Answer 1

【答案】4

【解析】

利用待定系數法，二次函數的性質，等腰直角三角形的性質，兩點之間線段最短一一判斷即可．

解：把A（﹣3，0），B（1，0）代入y＝ax2+bx+c得到 ，

消去c得到2a﹣b＝0，故①②正確，

∵拋物線的對稱軸直線x=＝﹣1，開口向下，

∴x＝﹣1時，y有最大值，最大值＝a﹣b+c，

∵m≠﹣1，

∴a﹣b+c＞am2+bm+c，

∴a﹣b＞am2+bm，故③正確，

當△ABC是等腰直角三角形時，則CE=BE=2，

∴C（﹣1，2），

可以假設拋物線的解析式為y＝a（x+1）2+2，把（1，0）代入得到a＝﹣0.5，故④正確，

如圖，連接AD交拋物線的對稱軸于P，連接PB，此時△BDP的周長最小，最小值＝PD+PB+BD＝PD+PA+BD＝AD+BD，

∵AD＝＝3，BD＝＝，

∴△△PBD周長最小值為3+，故⑤錯誤．

故答案為4．