Question

如圖，點A是拋物線與x軸正半軸的交點，點B在這條拋物線上，且點B的橫坐標為2．連接AB并延長交y軸于點C，拋物線的對稱軸交AC于點D，交x軸于點E．點P在線段CA上，過點P作x軸的垂線，垂足為點M，交拋物線于點Q．設點P的橫坐標為m．
（1）求直線AB對應的函數解析式．
（2）當四邊形DEMQ為矩形時，求點Q的坐標．
（3）設線段PQ的長為d（d＞0），求d關于m的函數解析式．
（4）在（3）的情況下，請直接寫出當d隨著m的增大而減小時，m的取值范圍．

Answer 1

解：（1）令y=0，則-x²+5x=0，
解得x₁=0，x₂=8，
∴點A的坐標為（8，0），
∵點B的橫坐標為2，
∴y=-×2²+5×2=，
∴點B的坐標為（2，），
設直線AB的解析式為y=kx+b，
則，
解得，
∴直線AB的解析式為y=-x+10；

（2）拋物線y=-x²+5x的對稱軸為直線x=-=4，
x=4時，y=-×4+10=5，
∴DE=5，
∵四邊形DEMQ為矩形，
∴MQ=5，即點Q的縱坐標為5，
∴-x²+5x=5，
整理得，x²-8x+8=0，
解得x₁=4-2，x₂=4+2（舍去），
∴點Q的坐標為（4-2，5）；

（3）∵點P的橫坐標為m，PM⊥x軸交拋物線于點Q，
∴點P（m，-m+10），點Q（m，-m²+5m），
①點P在線段CB上時，線段PQ的長為d=（-m+10）-（-m²+5m）=m²-m+10，
即d=m²-m+10；
②點P在線段AB上時，線段PQ的長為d=（-m²+5m）-（-m+10）=-m²+m-10，
即d=-m²+m-10，
∴d與m的關系式為d=；

（4）①點P在線段CB上時，函數d=m²-m+10的對稱軸為直線m=-=5，
∵＞0，
∴d＜5時，d隨著m的增大而減小，
∵點P在線段CB上，
∴0＜d＜2，
②點P在線段AB上時，函數d=-m²+m-10的對稱軸為直線m=-=5，
∵-＜0，
∴d＞5時，d隨著m的增大而減小，
∵點P在線段AB上，
∴5＜d＜8，
綜上所述，d隨著m的增大而減小時，m的取值范圍是0＜d＜2或5＜d＜8．
分析：（1）令y=0，解關于x的一元二次方程求出點A的坐標，再把x=2代入拋物線求出點B的坐標，然后設直線AB的解析式為y=kx+b，利用待定系數法求一次函數解析式解答即可；
（2）根據拋物線解析式求出對稱軸，然后求出點D的坐標，得到DE的長度，再根據矩形的對邊相等求出點Q的縱坐標然后代入拋物線解析式求出橫坐標，即可得解；
（3）分點P在線段CB上和在線段AB上兩種情況，用點P的縱坐標和點Q的縱坐標表示出PQ的長度，列式整理即可；
（4）分別求出二次函數圖象的對稱軸，然后利用二次函數的增減性解答．
點評：本題是二次函數綜合題型，主要考查了拋物線與坐標軸交點的求法，待定系數法求一次函數解析式，垂直于坐標軸的兩點間的距離的表示，以及二次函數的增減性，（3）（4）兩個小題注意要根據點P的位置分情況討論．