Question

如圖：△AOB是直角邊長為4的等腰三角形，C在OA上且OC=3，P是線段AB上的動點．當OP+CP最小時，（1）求出OP+CP的最小值．（2）求此時P點坐標．

Answer 1

【答案】分析：（1）先作C點關于AB的對稱點C′，連接OC′、AC′，由兩點之間線段最短可知OC′即為OP+CP的最小值，由對稱的性質可知△AOC′是直角三角形，利用勾股定理即可求解；
（2）由OC′的長可求出C′點的坐標，根據△AOB是直角邊長為4的等腰三角形可求出A、B兩點的坐標，再用待定系數法分別求出過A、B及過O、C兩點的一次函數解析式，求出其交點坐標即可．
解答：解：（1）作C點關于AB的對稱點C′，連接OC′、AC′，由兩點之間線段最短可知OC′即為OP+CP的最小值，
∵C′是C關于AB的對稱點，
∴AC=AC′=1，∠CAB=∠C′AB=45°，
∴∠CAC′=90°，
∵OA=4，AC′=1，
∴OC′===；

（2）∵OC′=，OA=4，AC′=1，
∴C′點的坐標為：（4，1），
∴設過O、C′兩點的函數解析式為y=kx（k≠0），即k=，
∴此一次函數的解析式為y=x；
∵△AOB是直角邊長為4的等腰三角形，
∴A（0，4）、B（4，0），
設過A、B兩點的一次函數的解析式為y=kx+b（k≠0），
∴，解得k=-1，b=4，
∴此一次函數的解析式為y=-x+4，
∴，解得x=，y=，
∴P點坐標為（，）．
故答案為：，（，）．
點評：本題考查的是最短線路問題及用待定系數法求一次函數的解析式，根據題意作出圖形，利用數形結合求解是解答此題的關鍵．