Question

如圖，已知BC是⊙O的直徑，P是⊙O上一點，A是的中點，AD⊥BC于點D，BP與AD相交于點E，若∠ACB=36°，BC=10．
（1）求的長；
（2）求證：AE=BE．

Answer 1

【答案】分析：（1）要求的長，就要連接OA，求出圓心角，利用弧長公式計算；
（2）連接AB，點A是的中點，所以所以∠C=∠ABP．再利用等弧所對的圓周角相等可得∠ABP=∠BAD所以AE=BE．
解答：（1）解：連接OA，∵∠ACB=36°，∴∠AOB=72°．（2分）
又∵OB=BC=5，（3分）
∴的長為：．（5分）

（2）證明：連接AB，
∵點A是的中點，
∴．
∴∠C=∠ABP．（6分）
∵BC為⊙O的直徑，
∴∠BAC=90°，即∠BAD+∠CAD=90°，（7分）
又∵AD⊥BC，
∴∠C+∠CAD=90°，
∴∠BAD=∠C，（8分）
∴∠ABP=∠BAD，（9分）
∴AE=BE．（10分）
點評：本題主要考查了弧長公式和等弧所對的圓周角相等的性質去證明．