Question

【題目】如圖，在正方形ABCD中，E是CD上一點，連接AE．過點D作DM⊥AE，垂足為M，⊙O經過點A，B，M，與AD相交于點F．

（1）求證：△ABM∽△DFM；

（2）若正方形ABCD的邊長為5，⊙O的直徑為，求DE的長．

Answer 1

【答案】（1）見解析;(2)

【解析】

（1）由四邊形ABCD為正方形，可得∠BAM＝∠ADM，再由四邊形BAFM為圓內接四邊形，可得∠ABM＝∠MFD，可以求證；

（2）連接BF，得BF為直徑，由勾股定理可得到AF的長，從而得FD＝3，因為△ABM∽△DFM，所以有，而易證△ADM∽△DEM，可得，即可得DE的長度．

（1）證明：∵四邊形ABCD為正方形，

∴∠BAD＝90°，

∴∠BAM+∠MAF＝90°，

∵DM⊥AE，

∴∠MAD+∠ADM＝90°，

∴∠BAM＝∠ADM，

∵四邊形BAFM為圓內接四邊形

∴∠ABM+∠AFM＝180°

∴∠ABM＝∠MFD

∴△ABM∽△DFM

（2）如圖，連接BF，

∵∠BAF＝90°，BF為直徑

∴在Rt△ABF中，由勾股定理得AF＝＝2，

∴FD＝3，

∵△ABM∽△DFM，

∴，

∵∠DEM＝∠ADM，∠AMD＝∠DME＝90°，

∴△ADM∽△DEM，

∴，

∴DE＝AD＝＝