Question

關于x的函數為y=kx²-4x-5．
（1）當k取何值時，該函數的圖象與x軸只有一個交點？
（2）若關于x的方程kx²-4x-5=0的一個根為-1，求方程的另一根及k的值．

Answer 1

解：（1）①當k=0時，關于x的函數為一次函數y=4x-5．
則該函數與x軸有一個交點；
②當k≠0時，關于x的函數y=kx²-4x-5的圖象為拋物線；
令kx²-4x-5=0，當該函數的圖象與x軸只有一個交點時，
△=（-4）²-4k×（-5）=0，
解得，k=-；
綜合①②，當k=0或k=-時，該函數的圖象與x軸只有一個交點；

（2）設方程的另一根為x₂．
根據題意，得
k×（-1）²-4×（-1）-5=0，
解得，k=1；
則由韋達定理知，-1+x₂===4，
解得，x₂=5，
即該方程的另一根為5．
分析：（1）分類討論：①當k=0時，該函數圖象與x軸的交點情況；②當k≠0時，關于x的方程kx²-4x-5=0的根的判別式來求k的值；
（2）根據方程的解的定義，將x=-1代入原方程列出關于k的新方程，通過解該新方程即可求得k的值；然后利用根與系數的關系求方程的另一根．
點評：本題考查了拋物線與x軸交點問題．解（1）題時，要注意對二次項系數k進行分類討論，以防漏解．