Question

題滿分12分）在平面直角坐標系中，動點Ｐ到點S（1，），與過T點（0，）且平行于x軸的直線距離相等，設點P的坐標為（x，y）

（1）試求出y與x函數關系式；

（2）設點P運動到x軸上時為點A、B（點A在點B的左邊），運動到最高點為點C；動動到y軸上時為點D；求出A、B、C、D四點的坐標；

（3）在（2）的條件下，為線段（點O為坐標原點）上的一個動點，過軸上一點作的垂線，垂足為，直線交軸于點，當點在線段上運動時，現給出兩個結論： ① ②，其中有且只有一個結論是正確的，請你判斷哪個結論正確，并證明．

Answer 1

（1）

（2）A B C（1，3）D （0，2）（4分）

（3）是正確的 （2分）證明：見解析 （3分）

【解析】

試題分析：（1）先根據題意畫出圖形，然后用x，y表示出線段的長，再利用勾股定理得出函數關系式y=-x2+2x+2；（2）令y=0，0=-x2+2x+2，解出x的值可得AB點的坐標，令x=0，則y=2，得點D坐標，將解析式配方可得點C的坐標；（3）∠GNM=∠CDM是正確的，根據條件可證△NGO≌△MDO，所以∠ONM=∠NMO=45°，過點D作DT⊥CP于T，所以∠CDT=∠DCT=45°，由DT∥AB，得∠TDM=∠DMO，從而∠GNM=∠CDM.

試題解析：（1）過點S作SD⊥ox，并反向延長SD交過T點的直線于B點，過點P作PA⊥AT，PC⊥BS．

∴CS=y-，CP=x-1，AP=．

∴在Rt△SCP中SP=．

又∵SP=AP

=，

∴y=-x2+2x+2；

（2）令y=0得0=-x2+2x+2．

解得x1=（-1-，x2=（-1+）．

∴A（-1-，0）B（-1+，0）．

把y=-x2+2x+2配方得：y=-（x-1）2+3，

∴C點的坐標為（1，3），

令x=0，y=2，

∴D點的坐標為D（0，2）．

∴A（1-，0），B（1+，0），C（1，3），D（0，2）；

（3）∠GNM=∠CDM是正確的．

證明：∵過A、B、C的拋物線解析式為y=-x2+2x+2；∴D（0，2），

∵G（-2，0），∴OG=OD，

由題意∠GON=∠DOM=90°，

又∵∠GNO=∠DNH，

∴∠NGO=∠MDO，

∴△NGO≌△MDO，

∴∠GNO=∠DMO，OM=ON，

∴∠ONM=∠NMO=45°，

過點D作DT⊥CP于T；

∴DT=CT=1，

∴∠CDT=∠DCT=45°，

由題意可知DT∥AB，

∴∠TDM=∠DMO，

∴∠TDM+45°=∠DMO+45°=∠GNO+45°，

∴∠TDM+∠CDT=∠GNO+∠ONM，

即：∠GNM=∠CDM．

考點：1.確定函數關系式；2.勾股定理；3.全等三角形的判定與性質；4.等腰直角三角形的判定與性質.