Question

13．如圖，在△ABC中，AB=BC=6，AO=BO，P是射線CO上在AB下方的一個動點，∠AOC=45°．則當△PAB為直角三角形時，AP的長為$\sqrt{18+9\sqrt{2}}$或=$\sqrt{18-9\sqrt{2}}$或3$\sqrt{5}$．

Answer 1

分析 分是最清楚討論即可：①如圖1中，當點P在CO的延長線上，∠APB=90°時．②如圖2中，當點P在線段CO上，∠APB=90°時．③如圖3中，當∠ABP=90°時．分別解直角三角形即可．

解答 解：①如圖1中，當點P在CO的延長線上，∠APB=90°時，作PE⊥AB于E．

∵∠AOC=∠POE=45°，∠PEO=90°
∴OE=PE，
∵OA=OB，∠APB=90°，
∴OP=$\frac{1}{2}$AB=3，
∴OE=PE=$\frac{3\sqrt{2}}{2}$，
在Rt△AEP中，AP=$\sqrt{A{E}^{2}+P{E}^{2}}$=$\sqrt{（\frac{3\sqrt{2}}{2}）^{2}+（3+\frac{3\sqrt{2}}{2}）^{2}}$=$\sqrt{18+9\sqrt{2}}$．

②如圖2中，當點P在線段CO上，∠APB=90°時，作PE⊥AB于E．

∵∠AOC=∠POE=45°，∠PEO=90°
∴OE=PE，
∵OA=OB，∠APB=90°，
∴OP=$\frac{1}{2}$AB=3，
∴OE=PE=$\frac{3\sqrt{2}}{2}$，
在Rt△AEP中，AP=$\sqrt{A{E}^{2}+P{E}^{2}}$=$\sqrt{（3-\frac{3\sqrt{2}}{2}）^{2}+（\frac{3\sqrt{2}}{2}）^{2}}$=$\sqrt{18-9\sqrt{2}}$．

③如圖3中，當∠ABP=90°時，

∵∠BOP=∠AOC=45°，∠OBP=90°，
∴OP=PB=3，
在Rt△ABP中，AP=$\sqrt{A{B}^{2}+P{B}^{2}}$=$\sqrt{{6}^{2}+{3}^{2}}$=3$\sqrt{5}$，
綜上所述，當△PAB為直角三角形時，AP的長$\sqrt{18+9\sqrt{2}}$或=$\sqrt{18-9\sqrt{2}}$或3$\sqrt{5}$．

點評 本題考查等腰三角形的性質、等腰直角三角形的性質、勾股定理、解直角三角形等知識，解題的關鍵是學會用分類討論的思想思考問題，注意不能漏解．