Question

探索n×n的正方形釘子板上（n是釘子板每邊上的釘子數），連接任意兩個釘子所得到的不同長度值的線段種數：
當n=2時，釘子板上所連不同線段的長度值只有1與

2

，所以不同長度值的線段只有2種，若用S表示不同長度值的線段種數，則S=2；
當n=3時，釘子板上所連不同線段的長度值只有1，

2

，2，

5

，2

2

五種，比n=2時增加了3種，即S=2+3=5．
（1）觀察圖形，填寫下表：
（2）寫出（n-1）×（n-1）和n×n的兩個釘子板上，不同長度值的線段種數之間的關系；（用式子或語言表述均可）
（3）對n×n的釘子板，寫出用n表示S的代數式．

釘子數（n）	S值
2×2	2
3×3	2+3
4×4	2+3+（　　）
5×5	（　　）

Answer 1

分析：（1）釘子數為2×2時，共有不同的線段2條；
釘子數為3×3時，共有不同的線段2+3條；
釘子數為4×4時，共有不同的線段2+3+4條；
那么釘子數為5×5時，共有不同的線段2+3+4+5條．
（2）釘子數為（n-1）×（n-1）時，共有不同的線段2+3+4+5+…+（n-1）條；釘子數為n×n時，共有不同的線段2+3+4+5+…+（n-1）+n條相減后發現不同長度的線段種數增加了n種．
（3）釘子數為n×n時，共有不同的線段應從2開始加，加到n．

解答：解：（1）4，2+3+4+5（或14）；
（2）類似以下答案均給滿分：
（i）n×n的釘子板比（n-1）×（n-1）的釘子板中不同長度的線段種數增加了n種；
（ii）分別用a，b表示n×n與（n-1）×（n-1）的釘子板中不同長度的線段種數，則a=b+n；
（3）S=2+3+4+…+n=

n+2

2

×（n-1）=

n2+n-2

2

．

點評：解決此類探究性問題，關鍵在觀察、分析已知數據，尋找它們之間的以及與第一個圖形的相互聯系，探尋其規律．