Question

如圖，AB是⊙O的直徑，PA，PC分別與⊙O 相切于點A，C，PC交AB的延長線于點D，DE⊥PO交PO的延長線于點E。

（1）求證：∠EPD=∠EDO
（2）若PC=6，tan∠PDA=，求OE的長。

Answer 1

（1）見解析（2）

解：（1）證明：∵PA，PC與⊙O分別相切于點A，C，
∴∠APO=∠EPD且PA⊥AO。∴∠PAO=90°。
∵∠AOP=∠EOD，∠PAO=∠E=90°，∴∠APO=∠EDO。
∴∠EPD=∠EDO。
（2）連接OC，

∵PA，PC與⊙O分別相切于點A，C，PC=6，∴PA=PC=6。
∵tan∠PDA=，∴在Rt△PAD中，AD=8，PD=10。
∴CD=4。
∵tan∠PDA=，∴在Rt△OCD中，OC=OA=3，OD=5。
∵∠EPD=∠DEP，∴△OED∽△DEP。
∴，即DE=2OE。
在Rt△OED中，，即，
∴OE=。
（1）根據(jù)切線長定理和切線的性質(zhì)即可證明：∠EPD=∠EDO；。
（2）連接OC，利用tan∠PDA=，可求出CD=4，再證明△OED∽△DEP，根據(jù)相似三角形的性質(zhì)和勾股定理即可求出OE的長。