Question

如圖，△ABC內接于⊙O，∠B=60⁰，CD是⊙O的直徑，點P是CD延長線上的一點，且AP=AC．

（1）求證：PA是⊙O的切線；
（2）若PD=，求⊙O的直徑．

Answer 1

（1）見解析（2）2

解：（1）證明：連接OA，
∵∠B=60⁰，∴∠AOC=2∠B=120⁰。
∵OA=OC，∴∠OAC=∠OCA=30⁰。
又∵AP=AC，∴∠P=∠ACP=30⁰。
∴∠OAP=∠AOC﹣∠P=90⁰。∴OA⊥PA。
∵OA是⊙O的半徑，∴PA是⊙O的切線。

（2）在Rt△OAP中，∵∠P=30⁰，
∴PO=2OA=OD+PD。
又∵OA=OD，∴PD=OA。
∵PD=，∴2OA=2PD=2。
∴⊙O的直徑為2。．
（1）連接OA，根據圓周角定理求出∠AOC，再由OA=OC得出∠ACO=∠OAC=30⁰，再由AP=AC得出
∠P=30⁰，繼而由∠OAP=∠AOC﹣∠P，可得出OA⊥PA，從而得出結論。
（2）利用含30⁰的直角三角形的性質求出OP=2OA，可得出OP﹣PD=OD，再由PD=，可得出⊙O的直徑。