Question

【題目】已知拋物線，頂點為A，且經過點，點．

（1）求拋物線的解析式；

（2）如圖1，直線AB與x軸相交于點M，y軸相交于點E，拋物線與y軸相交于點F，在直線AB上有一點P，若∠OPM＝∠MAF，求△POE的面積；

（3）如圖2，點Q是折線A﹣B﹣C上一點，過點Q作QN∥y軸，過點E作EN∥x軸，直線QN與直線EN相交于點N，連接QE，將△QEN沿QE翻折得到△QEN1，若點N1落在x軸上，請直接寫出Q點的坐標．

Answer 1

【答案】（1）；（2）或；（3）（﹣，）或（﹣，2）或（，2）．

【解析】

（1）將點B坐標代入解析式求得a的值即可；

（2）由∠OPM＝∠MAF知OP∥AF，據此證△OPE∽△FAE得，即OP＝FA，設點P（t，﹣2t﹣1），列出關于t的方程解之可得；

（3）分點Q在AB上運動、點Q在BC上運動且Q在y軸左側、點Q在BC上運動且點Q在y軸右側這三種情況分類討論即可得．

（1）把點代入，

解得：a＝1，

∴拋物線的解析式為：；

（2）由知頂點A（，﹣2），

設直線AB解析式為：y＝kx+b，代入點A，B的坐標，

得： ，

解得：，

∴直線AB的解析式為：y＝﹣2x﹣1，

易求E（0，﹣1），，，

∵∠OPM＝∠MAF，

∴OP∥AF，

∴△OPE∽△FAE，

∴，

∴,

設點P（t，﹣2t﹣1），則：

解得，，

∵△POE的面積＝OE|t|，

∴△POE的面積為或．

（3）若點Q在AB上運動，如圖1，

設Q（a，﹣2a﹣1），則NE＝﹣a、QN＝﹣2a，

由翻折知QN′＝QN＝﹣2a、N′E＝NE＝﹣a，

由∠QN′E＝∠N＝90°易知△QRN′∽△N′SE，

∴，即，

∴QR＝2，ES＝，

由NE+ES＝NS＝QR可得﹣a+＝2，

解得：a＝﹣，

∴Q（﹣，）；

若點Q在BC上運動，且Q在y軸左側，如圖2，

設NE＝a，則N′E＝a，

易知RN′＝2、SN′＝1、QN′＝QN＝3，

∴QR＝、SE＝﹣a，

在Rt△SEN′中，（﹣a）2+12＝a2，

解得：a＝，

∴Q（﹣，2）；

若點Q在BC上運動，且點Q在y軸右側，如圖3，

設NE＝a，則N′E＝a，

易知RN′＝2，SN′＝1，QN′＝QN＝3，

∴QR＝，SE＝﹣a，

在Rt△SEN′中，（﹣a）2+12＝a2，

解得：a＝，

∴Q（，2）．

綜上，點Q的坐標為（﹣，））或（﹣，2）或（，2）．