Question

如圖1，反比例函數y=

k

x

過A（a，b）且|a+2

3

|+（b-2

3

）²=0
（1）求反比例函數解析式；

（2）如圖2，直線y=2x-2與x軸交于B，與y軸交于C，是否存在第二象限的點M，使線段BC繞M旋轉180°后恰好都落在反比例函數圖象的D點和E點，若存在，求D，E兩點坐標，若不存在，說明理由；
（3）如圖3，反比例函數圖象上是否存在點P，使以PB為直徑的圓恰好過C點？若存在，求出直線PC的解析式和P點坐標，若不存在，說明理由（下圖僅為示意圖）．

Answer 1

分析：（1）根據|a+2

3

|+（b-2

3

）²=0，可以求出a、b的值，從而得知A點的坐標，用待定系數法求出雙曲線的解析式．
（2）作EH⊥y軸，DG⊥y軸，EF⊥DG，垂足分別于點H、G、F，利用三角形全等及待定系數法求出D、E的坐標．
（3）∵PC為直徑，△PCB為直角三角形，根據兩點間的距離公式可以表示出PC、PB的長，再根據勾股定理建立等式，設出P點的坐標代入雙曲線的解析式與勾股定理建立的等式構成方程組就可以求出P點的，利用待定系數法就可以求出直線PC的解析式．

解答：解：（1）∵|a+2

3

|+（b-2

3

）²=0
∴a+2

3

=0或b-2

3

=0
∴a=-2

3

，b=2

3

∴k=-2

3

×2

3

=-12
∴反比例函數的解析式為：y=-

12

x

（2）作EH⊥y軸，DG⊥y軸，EF⊥DG，垂足分別于點H、G、F
由旋轉可知∠DEC=∠ECB，∠FEC=∠ECG，DE=BC
∴∠DEF=∠BCO
∴△DEF≌△BCO
∴DF=OB，EF=OC
∵B、C是直線y=2x-2與x軸，y軸的交點．
∴OC=2，OB=1
∴DF=1，EF=2
設D（a，b），則E（a+1，b+2），∵兩點都在雙曲線上，
∴

ab=-12 (a+1)(b+2)=-12

∵b＞0∴解得：

b=4 a=-3

D（-3，4），E（-2，6）

（3）設P（a，b），由兩點間的距離公式得PB=

(a-1)2+b2

，PC=

a2+(b+2)2

∵PB為直徑，△PCB為直角三角形，由勾股定理得：
5+a²+（b+2）²=（a-1）²+b²
∵ab=-12，∵b＞0
∴解得：

a=-2 7 -2 b=-1+ 7

∴P（-2

7

-2，-1+

7

）
設直線PC的解析式為y=kx+b，由題意得：

-2=b -1+ 7 =k(-2 7 -2)-2

解得：

k=- 1 2 b=-2

∴直線PC的解析式為：y=-

1

2

x-2

點評：本題是一道反比例函數的綜合題，考查了非負數和為0定理，待定系數法求函數的解析式，旋轉，勾股定理，圓周角定理、兩點間的距離公式等多個知識點，是一道綜合性較強的試題．