Question

19．如圖1，△ABE是等腰三角形，AB=AE，∠BAE=45°，過點B作BC⊥AE于點C，在BC上截取CD=CE，連接AD、DE并延長AD交BE于點P；
（1）求證：AD=BE；
（2）試說明AD平分∠BAE；
（3）如圖2，將△CDE繞著點C旋轉一定的角度，那么AD與BE的位置關系是否發生變化，說明理由．

Answer 1

分析 （1）利用SAS證明△BCE≌△ACD，根據全等三角形的對應邊相等得到AD=BE．
（2）根據△BCE≌△ACD，得到∠EBC=∠DAC，由∠BDP=∠ADC，得到∠BPD=∠DCA=90°，利用等腰三角形的三線合一，即可得到AD平分∠BAE；
（3）AD⊥BE不發生變化．由△BCE≌△ACD，得到∠EBC=∠DAC，由對頂角相等得到∠BFP=∠ACF，根據三角形內角和為180°，所以∠BPF=∠ACF=90°，即AD⊥BE．

解答 解：（1）∵BC⊥AE，∠BAE=45°，
∴∠CBA=∠CAB，
∴BC=CA，
在△BCE和△ACD中，
$\left\{\begin{array}{l}{BC=AC}\\{∠BCE=∠ACD=90°}\\{CE=CD}\end{array}\right.$
∴△BCE≌△ACD，
∴AD=BE．
（2）∵△BCE≌△ACD，
∴∠EBC=∠DAC，
∵∠BDP=∠ADC，
∴∠BPD=∠DCA=90°，
∵AB=AE，
∴AD平分∠BAE．
（3）AD⊥BE不發生變化．
如圖2，

∵△BCE≌△ACD，
∴∠EBC=∠DAC，
∵∠BFP=∠ACF，
∴∠BPF=∠ACF=90°，
∴AD⊥BE．

點評 本題考查了全等三角形的性質定理與判定定理，解決本題的關鍵是證明△BCE≌△ACD．