Question

6．如圖，長方體的長、寬、高分別為5、4、3，在下底面A處有一螞蟻，它想吃到與它相對的上底面B處的食物，沿長方體側面爬行的最短路程是（　　）

• A． $\sqrt{74}$
• B． 5$\sqrt{2}$
• C． 4$\sqrt{5}$
• D． 3$\sqrt{10}$

Answer 1

分析 先將長方體前面和右面的兩個面展開，就成為了一個矩形，再連接AB，利用勾股定理就可以求出線段AB的值，就是螞蟻爬行的最短距離．

解答 解：展開長方體的側面（如圖），連接AB

在圖（1）中由勾股定理，得
AB=$\sqrt{{5}^{2}+{7}^{2}}$=$\sqrt{74}$，
在圖（2）中由勾股定理，得AB=$\sqrt{{9}^{2}+{3}^{2}}$=$\sqrt{90}$=3$\sqrt{10}$，
在圖（3）中由勾股定理，得
AB=$\sqrt{{4}^{2}+{8}^{2}}$=$\sqrt{80}$=4$\sqrt{5}$
∵$\sqrt{74}$＜4$\sqrt{5}$＜3$\sqrt{10}$，
∴螞蟻爬行的最短距離$\sqrt{74}$．
關系A．

點評 本題考查了長方體的展開圖的運用，兩點之間最短問題的運用，勾股定理的運用及實數(shù)大小的比較．在解時要將實際問題轉化為數(shù)學問題使抽象的變得直觀是解答本題的關鍵．